Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E trên DH và điểm K trên BC sao cho D E D H = C K C B . Chứng minh:
a) Δ A D E ∽ Δ A C K ;
b) Δ A E K ∽ Δ A D C ;
c) A E K ^ = 90 0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Hình vẽ tay hơi xấu thông cảm
a, Ta có: \(\frac{DE}{DH}=\frac{CK}{BC}\Rightarrow\frac{DE}{CK}=\frac{DH}{BC}\left(1\right)\)
Gọi giao điểm của AC và BD là O.
=> OA = OB = OC = OD
=> ∆OBC cân tại O
=> ^OCB = ^OBC hay ^ACB = ^OBC
Xét ∆AHD và ∆ABC có:
^AHD = ^ABC
^ADH = ^ACB ( = ^OBC)
=> ∆AHD ~ ∆ABC (g-g)
=> \(\frac{AD}{AC}=\frac{DH}{BC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{DH}\)
Xét ∆ADE và ∆ACK có:
\(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{DH}\)(cmt)
^ADE = ^ACK ( vì ^ADH = ^ACB)
=> ∆ADE ~ ∆ACK (c-g-c)
b, Theo câu a, ∆ADE ~ ∆ACK
=>\(\hept{\begin{cases}\widehat{DAE}=\widehat{CAK}\Rightarrow\widehat{DAE}+\widehat{EAC}=\widehat{CAK}+\widehat{EAC}\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{EAK}\\\frac{AE}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AK}{AC}\end{cases}}\)
=> ∆AEK ~ ∆ADC (c-g-c)
a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔDHB vuông tại H có
BA=BD(Gt)
BH chung
Do đó: ΔAHB=ΔDHB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: AH=DH(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAKC vuông tại K và ΔEKC vuông tại K có
CA=CE(gt)
CK chung
Do đó: ΔAKC=ΔEKC(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: KA=KE(Hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADE có
\(\dfrac{AH}{HD}=\dfrac{AK}{KE}\left(=1\right)\)
nên HK//DE(Định lí Ta lét đảo)