Question

[Ngô Ngọc Khánh]

Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với bộ 3 số

   \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}+\frac{t^2}{k}\ge\frac{\left(a+c+t\right)^2}{b+d+k}\left(a,b,c,d,t,k>0\right)\)

           Nếu làm được thì số like nhận được sẽ không hề nhỏ ^^

Answer 1

[Hải Đậu Thị]

chứng minh cho 2 số trước sau đó áp dụng cho 3 số nhé

Cách 1: ta chứng minh\(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)

Thật vậy \(\frac{a^2d+c^2b}{bd}-\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)\(\ge0\)

\(\frac{\Leftrightarrow\left(a^2d+c^2b\right)\left(b+d\right)-\left(a+b\right)^2bc}{\left(b+c\right)bc}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^2d+c^2b\right)\left(b+d\right)-\left(a+c\right)^2bd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2bd+a^2d^2+c^2b^2+c^2bd-a^2bd-2abcd-c^2bd}{ }\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(luônđúng\right)\)

tương tự dùng cho 3 số => đpcm

Cách 2: dùng bđt BUNIACOPSKI. ta có:

\(\left(\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\frac{c}{\sqrt{d}}.\sqrt{d}\right)^2\le\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2\le\)\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\right)\left(b+d\right)\)

\(\frac{\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2}{b+d}\le\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\) đến đây lại làm tt cách 1