Rút gọn biểu thức:
\(B=\sum_{k=1}^n\left(k.k!\right)\)
\(C=\sum_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k!}\right)\)
Chứng minh:
\(n!\ge2^{n-1}\left(\forall n\in N^{\cdot}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}\)
Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{3}\\v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)
\(S=\sum\limits^{10}_{k=1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta thực hiện chứng minh đẳng thức trên đúng bằng quy nạp
Với $n=2$: \((a+b)^=a^2+2ab+b^2=C^0_2a^2b^0+C^1_2ab+C^2_2a^0b^2\) (đúng)
................
Giả sử đẳng thức đúng đến $n=t$ $(t\in\mathbb{Z}>2$), tức là \((a+b)^t=\sum ^t_{k=0}C^k_ta^{t-k}b^k\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n=t+1$. Thật vậy:
\((a+b)^{t+1}=(a+b)^t(a+b)=(a+b)\sum ^{t}_{k=0}a^{t-k}b^k\)
\(=C^0_ta^{t+1}+(C^1_t+C^0_t)a^tb+(C^2_t+C^1_t)a^{t-1}b^2+....+(C^t_t+C^{t-1}_t)ab^t+C^t_tb^{t+1}\)
\(=C^0_{t+1}a^{t+1}+C^1_{t+1}a^tb+C^2_{t+1}a^{t-1}b^2+....+C^t_{t+1}ab^t+C^{t+1}_{t+1}b^{t+1}\) (sử dụng đẳng thức \(C^k_n+C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}\) và \(C^0_t=C^0_{t+1}=1; C^t_t=C^{t+1}_{t+1}=1\))
\(=\sum ^{t+1}_{k=0}C^{k}_{t+1}a^{t+1-k}b^k\)
Phép chứng minh hoàn tất. Ta có đpcm.
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}=\dfrac{n+k}{n\left(n+k\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{k}{n\left(n+k\right)}\)
3 tháng 4 2021
\(\dfrac{k}{n\cdot\left(n+k\right)}=\dfrac{n+k-n}{n\left(n+k\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\)(đpcm)
22 tháng 3 2017
Ta có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =k\left(k+1\right)\left[\left(k-2\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =k\left(k+1\right)\left[k-2-k+1\right]\\ =k\left(k+1\right)\left\{\left[k+\left(-k\right)\right]+\left(2+1\right)\right\}\\ =k\left(k+1\right).3\\ =3.k\left(k+1\right)\)
Vậy \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\\ =3.k.\left(k+1\right)\)
22 tháng 3 2017
Ta có:
\(VT=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[k+2-k+1\right]\)
\(=k\left(k+1\right)\left[\left(k-k\right)+\left(2+1\right)\right]\)
\(=k\left(k+1\right).3\)
\(=3k\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow VT=VP\)
Vậy với \(k\in N\)* thì ta luôn có:
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=3k\left(k+1\right)\) (Đpcm)
27 tháng 5 2015
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=k\left(k+1\right)\left[\left(k+2\right)-\left(k-1\right)\right]=3k\left(k+1\right)\)
Công thức tinh tổng là : \(S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
27 tháng 5 2015
\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)=k\left(k+1\right)\left(k+2-k+1\right)=3k\left(k+1\right)\left(ĐPCM\right)\)
\(S=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)
3\(S=3\left[1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\right]\)
\(3S=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
3S=n(n+1)(n+2)
\(S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
\(B=1!+2.2!+3.3!+...+k.k!\)
\(=1!+\left(3-1\right)2!+\left(4-1\right)3!+...+\left(k+1-1\right)k!\)
\(=1!+3!-2!+4!-3!+...+\left(k+1\right)!-k!\)
\(=\left(k+1\right)!-1\)
\(C=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)
\(=\frac{2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{n!}\)
2.
Với \(n=0\Rightarrow1\ge\frac{1}{2}\) đúng
Với \(n=1\Rightarrow1\ge1\) đúng
Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(k!\ge2^{k-1}\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(\left(k+1\right)!\ge2^k\)
Thật vậy, ta có:
\(\left(k+1\right)!=k!\left(k+1\right)\ge2^{k-1}.\left(k+1\right)>2^{k-1}.2=2^k\) (đpcm)