\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{3}\left(x+y+z\right)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2017
Sửa đề \(\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1}+\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y}+1}+\dfrac{\left(z+1\right)\left(x+1\right)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x\cdot z\cdot xz}+1}\ge\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{x+z+xz+1}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}=\dfrac{\left(y+1\right)^2}{z+1}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}\ge\dfrac{\left(z+1\right)^2}{x+1};\dfrac{\left(z+1\right)\left(x+1\right)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}\ge\dfrac{\left(x+1\right)^2}{y+1}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z+3\right)^2}{x+y+z+3}=x+y+z+3=VP\)
TN
19 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}\ge\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{xy+x+y+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=y+1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(P\ge x+y+z+3=6\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
19 tháng 10 2017
Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.
Điều kiện là các số dương
\(VT=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(VT\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right).3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)