Question

[Nobody]

Giải bpt và biểu diễn nghiệm trên trục số

a) 2x(3x-5)/ x²+1 < 0

b) x/x-2 + x+2/x > 2

c) 2x-3/ x+5 > 3

d) x-1/x-3 > 1

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

a) \(\frac{2x\left(3x-5\right)}{x^2+1}< 0\)

Ta có \(x^2+1\ge1>0\forall x\)

Để bpt < 0 => 2x( 3x - 5 ) < 0

Xét hai trường hợp :

1/ \(\hept{\begin{cases}2x>0\\3x-5< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< \frac{5}{3}\end{cases}\Rightarrow}0< x< \frac{5}{3}\)

2. \(\hept{\begin{cases}2x< 0\\3x-5>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x>\frac{5}{3}\end{cases}}\)( loại )

Vậy nghiệm của bất phương trình là 0 < x < 5/3

b) \(\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x}>2\)( ĐKXĐ : \(x\ne0,x\ne2\))

<=> \(\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x}-2>0\)

<=> \(\frac{x^2}{x\left(x-2\right)}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{2x\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}>0\)

<=> \(\frac{x^2+x^2-4-2x^2+4x}{x\left(x-2\right)}>0\)

<=> \(\frac{4x-4}{x\left(x-2\right)}>0\)

\(x\left(x-2\right)>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>2\\x< 0\end{cases}}\)

\(x\left(x-2\right)< 0\Leftrightarrow0< x< 2\)

Xét các trường hợp

1/ \(\hept{\begin{cases}4x-4>0\\x\left(x-2\right)>0\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}4x-4>0\\x>2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>2\end{cases}}\Leftrightarrow x>2\)

+) \(\hept{\begin{cases}4x-4>0\\x< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x< 0\end{cases}}\)( loại )

2/ \(\hept{\begin{cases}4x-4< 0\\x\left(x-2\right)< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\0< x< 2\end{cases}}\Rightarrow0< x< 1\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2 hoặc 0 < x < 1

c) \(\frac{2x-3}{x+5}\ge3\)( ĐKXĐ : \(x\ne-5\))

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x+5}-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x+5}-\frac{3\left(x+5\right)}{\left(x+5\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3-3x-15}{x+5}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x-18}{x+5}\ge0\)

Xét hai trường hợp

1/ \(\hept{\begin{cases}-x-18\ge0\\x+5>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-18\\x>-5\end{cases}}\)( loại )

2/ \(\hept{\begin{cases}-x-18\le0\\x+5< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-18\\x< -5\end{cases}}\Leftrightarrow-18\le x< -5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(-18\le x< -5\)

d) \(\frac{x-1}{x-3}>1\)( ĐKXĐ : \(x\ne3\))

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{x-3}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1-x+3}{x-3}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x-3}>0\)

\(\Leftrightarrow x-3>0\)

\(\Leftrightarrow x>3\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3