\(\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 2 2022
a: \(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1+11\sqrt{x}-11+34}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+1-x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x+12\sqrt{x}+24}{\sqrt{x}+2}\)
b: Thay \(x=3-2\sqrt{2}\) vào P, ta được:
\(P=\dfrac{3-2\sqrt{2}+12\left(\sqrt{2}-1\right)+24}{\sqrt{2}-1+2}\)
\(=\dfrac{27-2\sqrt{2}+12\sqrt{2}-12}{\sqrt{2}+1}=5+5\sqrt{2}\)
ĐKXĐ : \(x\ge0\)
Đặt \(A=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=2011\sqrt{x}-2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương ta có :
\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2011}\)
Do đó : \(A\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)
Vậy \(A_{min}=2\left(\sqrt{2011}-1\right)\) khi \(x=\frac{1}{2011}\)
\(ĐK:x>0\)
Xét biểu thức\(\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-2\left(\sqrt{2011}-1\right)+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1-2\sqrt{2011x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{\left(\sqrt{2011x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{2011x}=1\Leftrightarrow2011x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(2\left(\sqrt{2011}-1\right)\), đạt được khi \(x=\frac{1}{2011}\)