Question

[hello sunshine]

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi . CMR:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\) \(\ge\) \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Bài 5: Cho x, y, z dương. CMR:

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2\)

Bài 6: Cho x, y, z dương thỏa mãn: xy + yz + zx = 1

CMR: \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}\le2\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Hữu Tuấn Anh]

Bài 4:

Ta có:Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0.Do đó,áp dụng bất thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x,y là các số dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(a+c-b\right)}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\\\frac{1}{a+b-c+}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=\left(a+b+c\right)-2a=2p-2a=2\left(p-a\right)\\a+c-b=\left(a+b+c\right)-2b=2p-2b=2\left(p-b\right)\\a+b-c=\left(a+b+c\right)-2c=2p-2c=2\left(p-c\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left[\left(\frac{1}{2\left(p-a\right)}+\frac{1}{2\left(p-b\right)}+\frac{1}{2\left(p-c\right)}\right)\right]\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

5.

\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\) ; \(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên \(VT>2\)