Question

[LUU HA]

Tìm số nguyên dương a và b sao cho : \(a^3+b^3+3\text{a}b-1\)là số nguyên tố

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có: \(a^3+b^3+3\text{a}b-1\)

= \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab-1\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3-1\right]-3ab\left(a+b-1\right)\)

\(=\left(a+b-1\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)+1-3ab\right]\)

\(=\left(a+b-1\right)\left(a^2+b^2-ab+a+b+1\right)\)

Xét:  \(a^3+b^3+3\text{a}b-1\) là số nguyên tố với a; b là số nguyên dương 

+) Th1:  a + b - 1 = 1 và \(a^2+b^2-ab+a+b+1\) là số nguyên tố 

<=> a + b = 2 và  7 - 3ab là số nguyên tố 

Vì a; b nguyên dương  nên  a + b = 2 => a = b = 1 => 7 - 3ab = 7 - 3 = 4 không là số nguyên tố

=> Loại

+) Th2:  \(a^2+b^2-ab+a+b+1\) = 1 và a + b - 1 là số nguyên tố 

Ta có: \(a^2+b^2-ab+a+b+1=1\)

<=> \(a^2+\left(1-b\right)a+b^2+b=0\)

<=> \(a^2+2a\frac{\left(1-b\right)}{2}+\frac{\left(1-b\right)^2}{4}-\frac{1-2b+b^2}{4}+b^2+b=0\)

<=> \(\left(a+\frac{1-b}{2}\right)^2+\frac{3b^2+6b-1}{4}=0\)(1)

Với b nguyên dương ta có: \(b\ge1\Rightarrow\frac{3b^2+6b-1}{4}\ge2>0\)

=> (1) vô nghiệm 

=> Loại 

Vậy không tồn tại a; b nguyên dương