Question

[Bùi Tiến Đạt]

Cho 3 số a,b,c khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

Tính giá trị của biểu thức:  P =\(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}\)

Answer 1

[Nobi Nobita]

Vì \(a,b,c\ne0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)

\(\Rightarrow P=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)

Answer 2

[Xyz OLM]

Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

=> \(\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{a+c}+1=\frac{c}{a+b}+1\)

=> \(\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{a+c}=\frac{a+b+c}{a+b}\)

Nếu a + b + c = 0

=> a + b = - c

=> b + c = - a

=> a + c = - b

Khi đó P = \(\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)

Nếu a + b + c \(\ne0\)

=> \(\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+c}=\frac{1}{a+b}\)

=> b + c = a + c = a + b

=> \(\hept{\begin{cases}b+c=a+c\\b+c=a+b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a=c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c}\)

Khi đó P = \(\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)

=> P = 6

Vậy khi a + b + c = 0 => P = -3

khi a + b + c  \(\ne0\) => P = 6