Bài 1: Tìm các số thực a $\ge$0 sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x} 2}$ nhận giá trị là số nguyên. Bài 2: Cho các số thực x $\ge$-1,y $\ge$-1, z $\ge$ -1 thỏa mãn \(\left\{{}\...

LT

Lê Trường Lân

31 tháng 7 2020

Bài 1: Tìm các số thực a $\ge$0 sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị là số nguyên. Bài 2: Cho các số thực x $\ge$-1,y $\ge$-1, z $\ge$ -1 thỏa mãn $\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}\\\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}\end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng x = y = z CẦN GẤP AH!...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

BN

bach nhac lam

31 tháng 7 2020

bài 2 tham khảo câu V đề thi vòng 1 trường THPT chuyên đại học sư phạm năm học 2013-2014

Đúng(0)

DM

Đàm Minh Quang

26 tháng 2 2017 - olm

Câu hỏi hay

Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:a)$a^3+b^3+c^3\ge a+b+c$b) $a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2$Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c$Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z\le1$Chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

KR

kagamine rin len

28 tháng 2 2017

2a)với a,b,c là các số thực ta có

$a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2$

$\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|$

tương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|$

tương tự $\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|$

cộng từng vế mỗi BĐT ta được $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c$

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Đúng(0)

NA

Ngo Anh

4 tháng 7 2019 - olm

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức M = $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$Bài 2: Tìm các số thực x$\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyênBài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\\ \sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

NM

Nguyễn Minh Đăng

29 tháng 5 2021 - olm

Bài 1: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:$\frac{x}{\sqrt{2xy+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{2yz+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{2zx+x^2}}\ge\sqrt{3}$Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$Tìm min của $P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ca}$Rảnh rỗi...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

HQ

Hoàng Quốc Tuấn

3 tháng 4 2020 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

2

T

truongkhanhlinhbong

3 tháng 4 2020

helloo

Đúng(0)

TP

Trần Phúc Khang

3 tháng 4 2020

Ta có $1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)$

Khi đó BĐT <=>

$\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)$

<=> $\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3$

<=>$\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3$

<=> $\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3$(1)

Xét $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)$

<=> $9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)$

<=> $xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz$

<=> $x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0$luôn đúng

Khi đó (1) <=>

$\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3$

<=> $\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}$

Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có

$\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}$

$=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}$

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

LN

Lê Ngọc Mai

9 tháng 8 2016 - olm

Câu hỏi hay

Bài 1 :Cho a ;b ;c là các số thực dương thỏa mãn a +b +c = 3 .Chứng ming rằng :$\frac{1}{2+a^2b}$+$\frac{1}{2+b^2c}$+$\frac{1}{2+c^2a}$$\ge$1 Bài 2 :Cho x ;y ;z là các số thực dương thỏa mãn (x+y)(y+z)(z+x)=1 .Chứng ming rằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

HT

Hắc Thiên

20 tháng 10 2019 - olm

Tìm GTLN của biểu thức P=xy+2yz=xz trong đó x,y,z là các số thực thỏa mãn $x\ge y\ge z>0$và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$

#Toán lớp 9

0

D

Dương

12 tháng 3 2021 - olm

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

1

KN

Kiệt Nguyễn

13 tháng 3 2021

Theo giả thiết xy + yz + zx = 1 nên ta có: $VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+z^2}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{1}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right)=\frac{2\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$$\Rightarrow\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)$Ta cần chứng minh: $\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)$

hay $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM - GM do: $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}.\frac{y}{x+y}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}.\frac{z}{z+y}}\le\frac{\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)}{2}=\frac{3}{2}$Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(0)

DH

Dưa Hấu

14 tháng 4 2018 - olm

Cho x:y:z là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ và $x;y;z\ge1$

CMR:$\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\sqrt{z-1}$

#Toán lớp 9

0

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020 - olm

Bài 1:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: $\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}$Bài 2:Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của $G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}$Bài 3:Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

2

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bài 1: diendantoanhoc.net

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ BĐT cần chứng minh trở thành

$\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}$

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

$ {\displaystyle \displaystyle \sum }$$_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2$$ {\displaystyle \displaystyle \sum }$$\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}$

$=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}$

$=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}$

$\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}$

$=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}$

Đúng(0)

TL

Tran Le Khanh Linh

16 tháng 5 2020

Bổ sung bài 1:

BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP