Cho 2 số dương a, b có tổng bằng 2. Tính giá trị nhoe nhất của biểu thức:
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(P=\frac{\left(4-a^2\right)\left(4-b^2\right)}{a^2b^2}=\frac{\left[\left(a+b\right)^2-a^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-b^2\right]}{a^2b^2}\)
\(=\frac{b\left(2a+b\right).a\left(a+2b\right)}{a^2b^2}=\frac{\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}{ab}=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+5\ge2.2\sqrt{\frac{ab}{ab}}+5=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
5 tháng 11 2016
Rút gọn Q = a2 + b2 + a2 + b2 -6a/b - 6b/a + 9/a2 + 9/b2 = a2 - 6a/b + 9/b2 + b2 - 6b/a + 9/a2 + a2 + b2
= ( a - 3/b )2 + (b - 3/a )2 + a2 + b2 = (a - 3/b )2 + 2(ab - 3) + b2 + (b - 3/a)2 - 2(ab - 3) + a2 = (a - 3/b ) ^2 +2(a - 3/b)b + b^2 + (b - 3/a)^2 -2(b-3/a)a +a^2 = (a -3/b +b )^2 + (b-3/a-a)^2 = (2-3/b)^2 + (b-3/a-a)^2 mik chỉ bik làm tới đây thôi bạn thông cảm mak hình như giá trị nhỏ nhất của Q là 25 tại a=3/2,b=1/2 hoặc a=3/2,b=1/2
KN
25 tháng 4 2020
Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)
Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)
Áp dụng (*) và (**), ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bg
Hai số dương a, b có tổng bằng 2 --> a = 1 và b = 1 (vì 2 = 2 + 0 = 1 + 1; số dương là số > 0 nên a = 1 và b = 1)
Thay giá trị của a và b vào:
\(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{4}{1^2}\right).\left(1-\frac{4}{1^2}\right)=\left(1-4\right).\left(1-4\right)=-3.\left(-3\right)=9\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên là 9.
Bài làm:
Ta có: \(\left(1-\frac{4}{a^2}\right).\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\frac{a^2-4}{a^2}.\frac{b^2-4}{b^2}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a^2}.\frac{\left(b-2\right)\left(b+2\right)}{b^2}\left(1\right)\)
Thay \(2=a+b\)vào \(\left(1\right)\)
\(\left(1\right)=\frac{\left(a-a-b\right)\left(a+a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(b-a-b\right)\left(b+a+b\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(-b\right).\left(2a+b\right)}{a^2}.\frac{\left(-a\right).\left(2b+a\right)}{b^2}\)
\(=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+a\right)}{ab}\)
\(=\frac{2a^2+2b^2+5ab}{ab}\ge\frac{4ab+5ab}{ab}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)
Vậy Min=9 khi a=b=1