Question

[Minh Nguyệt]

Hai bạn A và B lên bảng viết. Mỗi bạn viết ngẫu nhiên 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số. Có bao nhiêu cách viết sao cho 3 chữ số có mặt trong số của bạn A giống 3 chữ số của bạn B và tổng 3 chữ số chia hết cho 3 ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ủa đề bài ko yêu cầu 3 chữ số khác nhau à? Thế thì dài lắm, rất phức tạp :(

Cách suy nghĩ về cơ bản như sau: gọi số A viết là \(\overline{abc}\), như vậy với mỗi số A viết B có 6 cách viết tương ứng (hoán vị 3 chữ số của A). Nhưng có 2 vấn đề rắc rối: 1/ trong các số a;b;c có mặt số 0, do đó khi hoán vị có khả năng 0 sẽ bị đẩy ra đứng đầu (không phù hợp). 2/ Trong có các a;b;c có ít nhất 2 chữ số giống nhau =>khi hoán vị sẽ bị lặp lại kết quả => thừa nghiệm. Do đó cần chia ra rất nhiều trường hợp và trong mỗi trường hợp lại chia nhỏ các trường hợp bên trong:

TH1: \(\overline{abc}\) chứa 2 số 0 \(\Rightarrow b=c=0\Rightarrow a\) có 3 cách chọn \(\Rightarrow\) có 3 số. Với mỗi số A viết, B có đúng 1 cách viết thỏa mãn (giống hệt A)

TH2: \(\overrightarrow{abc}\) chứa 1 số 0 tại vị trí b hoặc c. Giả sử \(c=0;b\ne0\)

\(\Rightarrow\)có \(3.3+3.3+3.3=27\) số. Hoán vị b và c có 2 cách \(\Rightarrow\) có \(27.2=54\) số, trong đó có 3 trường hợp một cặp số giống nhau (33;66;99) và 51 trường hợp 3 số đôi một khác nhau

- Nếu 3 chữ số A viết có 1 cặp giống nhau, tương ứng B sẽ có 2 cách viết \(\Rightarrow\) có \(3.2=6\) cách

- Nếu 3 chữ số A viết đôi một khác nhau, ứng với mỗi số B có 4 cách viết \(\Rightarrow51.4=204\) cách

\(\Rightarrow\) Ở trường hợp này có \(204+6=210\) cách

TH3: \(\overline{abc}\) không chứa số 0 nào

TH3.1: 3 chữ số a;b;c giống nhau \(\Rightarrow\) A có 9 cách viết, ứng với 1 số B cũng chỉ có 1 cách duy nhất \(\Rightarrow\) có 9 cách

TH3.2: 3 chữ số a;b;c có đúng 1 cặp giống nhau \(\Rightarrow\) a;b;c cùng số dư khi chia cho 3.

Có 9 cách chọn 1 cặp số giống nhau, với mỗi cặp sẽ có 2 cách chọn số còn lại \(\Rightarrow\) 18 cách chọn. Với mỗi số lại có 3 cách hoán vị \(\Rightarrow18.3=54\) cách để A viết

Với mỗi số A viết, B có 3 cách viết tương ứng

\(\Rightarrow\) có \(54.3=162\) cách

TH3.3: 3 chữ số a;b;c đôi một khác nhau:

- Cả 3 số đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) \(1.3!=6\) cách

- Cả 3 số chia 3 cùng số dư: \(2.3!=12\) cách

- 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2, 1 số chia hết cho 3: có \(3.3.3.3!=162\) cách

\(\Rightarrow\) có \(6+12+162=180\) cách để A viết

Với mỗi số A viết, B có \(3!=6\) cách viết tương ứng

\(\Rightarrow\) Có \(180.6=1080\) cách

Vậy tổng cộng có: \(3+210+9+162+1080=1464\) cách viết

Phức tạp quá nên chẳng biết có thiếu chỗ nào ko :D