Tìm GTNN của E = \(9x+\frac{1}{9x}-\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}+2020\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
P
1
12 tháng 5 2020
Ta có: \(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}+2020\)
\(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{x+6\sqrt{x}+9}{x+1}+2021\)
\(A=9x+\frac{1}{9x}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}+2021\)
Ta có \(9x+\frac{1}{9x}\ge\sqrt[2]{9x\cdot\frac{1}{9x}}=2\) (BĐT Cosi)
\(\left(1\cdot\sqrt{x}+3\cdot1\right)^2\le\left(1^2+3^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+1^2\right]=10\left(x+1\right)\)(BĐT Bunhiacopsky)
=> \(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}\le\frac{10\left(x+1\right)}{x+1}=10\)
\(\Rightarrow\frac{-\left(\sqrt{x}+3\right)^2}{x+1}\ge-10\)
=> A >= -2-10+2021=2013
Xử lý tiếp phần dấu "="
TG
0
ND
0
5 tháng 8 2019
Đặt \(A=\frac{9x-2\sqrt{x}+4}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{9x}{6\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{6\sqrt{x}}+\frac{4}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\(A\ge2\sqrt{\frac{3\sqrt{x}\cdot2}{2\cdot3\sqrt{x}}}-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}}{2}=\frac{2}{3\sqrt{x}}\Leftrightarrow9x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)( thỏa )
Vậy....
5 tháng 8 2019
\(DK:x>0\)
\(A=\frac{9x-2\sqrt{x}+4}{6\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow A+\frac{1}{3}=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{3\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si
\(\Rightarrow A+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{\frac{3\sqrt{x}}{2}.\frac{2}{3\sqrt{x}}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\Rightarrow A\ge2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}}{2}=\frac{2}{3\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)
PN
9 tháng 8 2016
\(-----------\)
Đặt \(\alpha=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\)và \(t=\sqrt{x}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\alpha>0\\t>0\end{cases}\left(i\right)}\) với mọi \(x>0\)
Khi đó, ta biểu diễn lại \(\alpha\) dưới dạng biến số \(t\) như sau:
\(\alpha=\frac{4t^4+9t^2+18t+9}{4t^3+4t^2}=\frac{3\left(4t^3+4t^2\right)+\left(4t^4-12t^3-3t^2+18t+9\right)}{4t^3+4t^2}\)
nên \(\alpha=3+\frac{\left(2t^2-3t-3\right)^2}{4t^3+4t^2}\ge0\) với mọi \(t>0\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}4t^3+4t^2>0\\2t^2-3t-3\ge0\end{cases}}\) (do \(\Delta_t>0\) )
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(2t^2-3t-3=0\)
Ta thành lập biệt thức \(D=b^2-4ca\) với tập xác định của pt là \(t\in\left(0;\infty\right)\) như sau:
\(\Delta_t=3^2+4.2.3=33\)
Do đó, ta tính được \(t_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4};\) \(t_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)
Nhưng ta chỉ chấp nhận
\(t=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\) (do điều kiện \(\left(i\right)\) ) làm nghiệm duy nhất của pt.
\(\Rightarrow\) \(x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
\(-----------\)
Mặt khác, ta lại áp dụng bđt \(AM-GM\) loại hai cho bộ số với hai số thực không âm gồm \(\left(\frac{\alpha}{9};\frac{1}{\alpha}\right)\) , ta có:
\(A=\alpha+\frac{1}{\alpha}=\left(\frac{\alpha}{9}+\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{8\alpha}{9}\ge2\left(\frac{\alpha}{9}.\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\alpha=3\\\frac{\alpha}{9}=\frac{1}{\alpha}\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\alpha=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
Vậy, \(A_{min}=\frac{10}{3}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)
9 tháng 8 2016
Điều kiện x>0
Đặt a = 4x2 + 9x + 18 √x +9
b = 4x√x + 4x
Từ đó ta có A = a/b + b/a >= 2
Vậy giá trị nhỏ nhất là A = 2 khi a/b = b/a
Phần còn lại bạn tự làm nha
ND
0
T
6 tháng 8 2017
\(A=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)-\left(3\sqrt{x}-1\right)+8\sqrt{x}}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\right]:\frac{6\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}\)
\(A=\left[\frac{3x-2\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}+1+8\sqrt{x}}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{3\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{3x+3\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}.\frac{1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\sqrt{x}-1}.\frac{1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}-2}\)
\(A=\frac{5}{6}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}-2}=\frac{5}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}+6=30\sqrt{x}-10\)
\(\Leftrightarrow24\sqrt{x}=16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)
D
20 tháng 8 2018
\(A=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)-\left(3\sqrt{x}-1\right)+8\sqrt{x}}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\right]\div\frac{6\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}\)
\(A=\left[\frac{3x-2\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}+1+8\sqrt{x}}{\left(3\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+1\right)}\right]\times\frac{3\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{3x+3\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}\times\frac{1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\sqrt{x}-1}\times\frac{1}{6\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}-2}\)
\(A=\frac{5}{6}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}-2}=\frac{5}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}+6=30\sqrt{x}-10\)
\(\Leftrightarrow24\sqrt{x}=16\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)
