Question

[Ngọc Lan Đinh]

Tính phương trình sai phân

y(n+2) +2y(n+1) +4y(n)=3n-4

Tính phương trình vi phân

(y²-2)dx=(y+x²y)dy

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

\(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=3n-4\)

Xét phương trình thuần nhất: \(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=0\)

Pt đặc trưng: \(\lambda^2+2\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_{1,2}=2\left(cos\frac{2\pi}{3}\pm sin\frac{2\pi}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\) Nghiệm của pt thuần nhất có dạng:

\(\overline{y_n}=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)\)

Tìm nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=an+b\)

Thay vào pt:

\(a\left(n+2\right)+b+2\left[a\left(n+1\right)+b\right]+4\left[an+b\right]=3n-4\)

\(\Leftrightarrow7an+4a+7b=3n-4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a=3\\4a+7b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3}{7}\\b=-\frac{40}{49}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

Nghiệm tổng quát: \(y_n=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)+\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

2.

\(\left(y^2-2\right)dx=y\left(x^2+1\right)dy\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{y^2-2}dy-\frac{1}{x^2+1}dx=0\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\Rightarrow\int\frac{y}{y^2-2}dy-\int\frac{1}{x^2+1}dx=C\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}ln\left|y^2-2\right|-arctanx=C\)