Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P=\(x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 10 2020
a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
Vật bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
\(2=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\Rightarrow yz\le1\)
\(P=x\left(1-yz\right)+y+z\Rightarrow P^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]\)
\(P^2\le\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)\)
\(P^2\le2\left(yz\right)^3-2\left(yz\right)^2+4=2y^2z^2\left(yz-1\right)+4\le4\)
\(\Rightarrow P\le2\)
\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị
Cho hỏi dòng đầu tiên là BĐT gì vậy?
Áp dụng BĐT:
\(xyz\ge\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(x+z-y\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge\left(1-2x\right)\left(1-2y\right)\left(1-2z\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge1+4\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x+y+z\right)-8xyz\)
\(\Leftrightarrow9xyz\ge4\left(xy+yz+zx\right)-1\)
\(\Rightarrow P=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Lại có:
\(xy+yz+zx=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9xyz\)
\(\Rightarrow P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(P\le\left(x+y+z\right)^2-\frac{3}{2}\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị