Question

[Ally]

Chứng minh rằng : n⁵ -2011n chia hết cho 30 với n là số tự nhiên.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có: $n^5-2011n=(n^5-n)-2010n$

$=n(n^4-1)-2010n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n$

$=n(n-1)(n+1)(n^2+1)-2010n$

Vì $n, n-1, n+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại ít nhất 1 số chẵn, và tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $3$

$\Rightarrow n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2+1)$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$ $(*)$

Mặt khác, ta biết 1 số chính phương khi chia cho $5$ có thể có dư là $0,1,4$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $0$ thì $n\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ thì $n^2-1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$

Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ thì $n^2+1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$ $(**)$

Từ $(**); (*)$ mà $(2,3,5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 30$

Mà $2010n\vdots 30$ do $2010\vdots 30$

Do đó $n^5-2011n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n\vdots 30$

Ta có đpcm.

Tóm lại $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$