Bài sau đây làm tôi không còn dám coi thường BĐT lớp 8:
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(x\ge2,x+y\ge3\). Tìm Min:
\(A=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)
Nghĩ mãi mới ra cách AM-GM (hơn 10 phút, mấy lần đầu nhóm sai!), rồi viết lại thành SOS nên 15 phút mới xong..
\(A-\frac{35}{6}=\left(x-2\right)^2\left(1+\frac{1}{4x}\right)+\left(y-1\right)^2+\frac{\left(x+y-3\right)^2}{9\left(x+y\right)}+\left[\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-\frac{55}{6}\right]\)
Cách AM-GM:
\(A=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+4x+2y-5\)
\(\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x\right)+\left(\frac{1}{x+y}+\frac{15}{4}x+2y-5\right)\)
\(\ge1+\left[\frac{1}{9}\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}\right]+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x-5\ge\frac{35}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=2;y=1\)
