Question

[Nguyễn Minh Hoàng]

Cho ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau biết tổng hai số này chia hết cho số kia.Chứng minh rằng  tổng ba số đó chia hết cho tích của chúng. Tìm ba số đó

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Sửa lại đề bài: Phải là đôi một nguyên tố cùng nhau

+) Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là : a, b , c 

Theo bài ra ( a; b ) = 1; ( b ; c ) = 1; ( a; c ) = 1

và a + b \(⋮\)c ; a + c \(⋮\)b; b+c \(⋮\)a.

=> a + b + c \(⋮\)c  ; a + c +b \(⋮\)b; b + c + a \(⋮\)a 

=> a + b + c  \(⋮\)BCNN ( a; b ; c ) 

Mặt khác  a, b ,c đôi một nguyên tố cùng nhau => BCNN ( a; b ; c ) = abc 

=> a + b + c \(⋮\)abc 

+) Tìm 3 số đó.

Ta có: a + b + c  \(⋮\)abc 

=> a + b + c \(\ge\)abc 

Không mất tính tổng quát : g/s: a > b > c 

=> a + b + c  < 3a 

=> abc < 3a 

=> bc < 3 mà a; b ; c là số tự nhiên 

=> b = 2  và c = 1 

Vì a + b  \(⋮\)c => 3 \(⋮\)c => c = 3 

Thử lại ta thấy 3 + 2 \(⋮\)1; 1 + 2 \(⋮\)3; 1 + 3 \(⋮\)2  và 1; 2; 3 là 3 số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 3 số cần tìm là 1; 2; 3