CMR
A=\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...........+\frac{1}{n^2}\)với \(n\ge2\)không là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2018
vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé
1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Do đó :
\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)
1 tháng 6 2018
2.
Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)
Do đó :
\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)
15 tháng 11 2016
Đặt biểu thức trung gian là :
\(B=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}\) thì \(A< B\)
Còn \(B=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(A< 3< \frac{3}{4}< 1.\)
T
29 tháng 7 2019
Cách 2. Gọi biểu thức trên là A.Ta làm trội:
\(\frac{1}{x^2}\left(x\ge2\right)=\frac{1}{x.x}< \frac{1}{\left(x-1\right).x}\). Khi đó, áp dụng vào,ta có:
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n}< 1\forall n\ge2^{\left(đpcm\right)}\)
25 tháng 7 2019
Bạn tham khảo nhé!Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Ta có A>1
\(A< 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=2-\frac{1}{n}< 2\)
=> 1<A<2 => A không là số tự nhiên