Question

[Minh Sơn Nguyễn]

CHỨNG MINH RẰNG: \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=\frac{\left(n+1\right)n}{2}\) VỚI MỌI \(n\inℕ^∗\)

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Đặt 

\(A_k=1+2+3+....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

\(A_{k-1}=1+2+3+....+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\)

Ta có:

\(A_k^2-A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{2}-\frac{\left(k-1\right)^2k^2}{2}=\frac{k^2}{2}\left(k^2+2k+1-k^2+2k-1\right)=k^3\)

Khi đó:

\(1^3=A_1^2\)

\(2^3=A_2^2-A_1^2\)

\(...........\)

\(n^3=A_n^2-A_{n-1}^2\)

Khi đó:

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=A_n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+......+n^3}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=> ĐPCM

Answer 2

[kudo shinichi]

Cách khác:

Ta sẽ đi chứng minh \(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Với n=1 thì mệnh đề trên đúng

Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Ta có:

\(A_k=1^3+2^3+3^3+.....+k^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta cần chứng minh:

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Thật vậy !

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)

\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)\)

\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.