Question

[๖ۣbuồn ツ]

(x,y)=1         \(\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{7}{25}\)

tìm các số tự nhiên x,y

Answer 1

[Võ Quang Đại Phúc]

x=3

y=4

hoặc

x=4

y=3

Answer 2

[ᴖᴥᴖ❶ʟ๖ۣۜIf⒠〄❷dέA҉T⃗ɧ♂〄²ᵏ⁶◄]

\(\text{안녕하세요}\)

Gọi \(ƯCLN\left(x+y,x^2+y^2\right)=d\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y⋮d\\x^2+y^2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)⋮d\Rightarrow2xy⋮d\)

\(TH1:2⋮d\Rightarrow d=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=7\cdot2=14\\x^2+y^2=25\cdot2=50\end{cases}\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)=2xy=146\Rightarrow xy=73}\)

\(\Rightarrow x\left(14-x\right)=73\Rightarrow14x-x^2-73=0\Rightarrow x^2-14x+73=0\Rightarrow\left(x-7\right)^2+24=0\)(loại)

\(TH2:2\)không chia hết cho \(d\)\(\Rightarrow xy⋮d\Rightarrow x⋮d\)hoặc \(y⋮d\)Mặt khác \(x+y⋮d\)Nên \(x⋮d,y⋮d\Rightarrow d=1\)(Vì x,y nguyên tố cùng nhau) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{cases}}\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)=2xy=24\Rightarrow xy=12\Rightarrow x\left(7-x\right)=12\)

\(\Rightarrow7x-x^2-12=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\)\(\Rightarrow x=3,x=4\Rightarrow y\)tương ứng là \(4,3\)

Vậy \(\left(x,y\right)=\left(3,4\right);\left(4,3\right)\)