Cho biểu thức A=\(\left(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\right)-\left(a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}\right)\)với a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2020
Ta có: \(a^5-a=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮5\)( 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5)
=> \(a^5-a=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)⋮6\)
( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên chia hết cho 6)
mà 6 .5 = 30 ; ( 6;5) = 1
=> \(a^5-a⋮30\)
=> \(a^{2020}-a^{2016}=a^{2015}\left(a^5-a\right)⋮30\)
=> \(A=\left(a^{2020}-a^{2016}\right)+\left(b^{2020}-b^{2016}\right)+\left(c^{2020}-c^{2016}\right)⋮30\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Lời giải:
Đặt \(\frac{a}{2016}=\frac{b}{2018}=\frac{c}{2020}=t\Rightarrow a=2016t; b=2018t; c=2020t\)
Khi đó:
\(\frac{(a-c)^2}{4}=\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2(1)\)
\((a-b)(b-c)=(2016t-2018t)(2018t-2020t)=(-2t)(-2t)=4t^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{(a-c)^2}{4}=(a-b)(b-c)\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019
Đặng Quốc Huy:
\(\frac{(2016t-2020t)^2}{4}=\frac{(-4t)^2}{4}=\frac{(-4)^2.t^2}{4}=\frac{16t^2}{4}=4t^2\)
\(A=a^{2016}\left(a^4-1\right)+b^{2016}\left(b^4-1\right)+c^{2016}\left(c^4-1\right)\)
Xét: \(a^{2016}\left(a^4-1\right)=a^{2015}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Đặt \(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Do \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 6 \(\Rightarrow B⋮6\)
Mặt khác:
\(B=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[a^2-4+5\right]\)
\(=5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Do \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5
\(\Rightarrow B⋮5\Rightarrow B⋮30\) (do 5 và 6 nguyên tố cùng nhau)
Hoàn toàn tương tự ta có \(b^{2016}\left(b^4-1\right)⋮30\) và \(c^{2016}\left(c^4-1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow A⋮30\)