Rút gọn biểu thức S = \(\frac{2019}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{2019}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{2019}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{2019}{2019\sqrt{2018}+2018\sqrt{2019}}\)
Mk chỉ cần kết quả thôi , cảm ơn nhiều ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AN
9 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{\left(k+1\right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k\left(k+1\right)^2-k^2\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k^3+2k^2+k-k^3-k^2}\)
\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Lần lượt thay k=1;2;...;2018 ta được:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
...
\(\frac{1}{2019\sqrt{2018}+2018\sqrt{2019}}=\frac{1}{\sqrt{2018}}-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(C=1-\frac{1}{\sqrt{2019}}=...\)
TG
20 tháng 7 2019
\(\forall k\ge0\)ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\left(\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
Bạn áp dụng công thức này vào dãy trên ta sẽ có các số hạng triệt tiêu đi nhau và ra kết quả
MN
15 tháng 6 2018
Với mọi \(n\inℕ^∗\) ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n-1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n-1}}\)
Áp dụng đẳng thức trên ta có:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2018}}-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)
DC
15 tháng 6 2018
\(t\text{ổng}qu\text{át}:\frac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{n\sqrt{n-1}-\left(n-1\right)\sqrt{n}}{n^2\left(n-1\right)-\left(n-1\right)^2n}\)
\(=\frac{n\sqrt{n-1}-\left(n-1\right)\sqrt{n}}{\left(n-1\right)n}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\)
Thay vào A có
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-...+\frac{1}{\sqrt{2016}}-\frac{1}{\sqrt{2017}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2017}}\)
TB
31 tháng 7 2018
\(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-...-\frac{1}{\sqrt{2018}-\sqrt{2019}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{2019}-\sqrt{2018}}{2019-2018}\)
\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2019}-\sqrt{2018}\)
\(=\sqrt{2019}-\sqrt{2}\)
