cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. tìm GTNN của P= 1/a + 1/b + 1/c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TK
1
21 tháng 4 2019
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
21 tháng 4 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
C
2
G
9 tháng 3 2018
Từ: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a=1-b-c\)
Mà theo đề bài:
\(a\le b+1\le c+2\)
\(\Rightarrow1-b-c\le b+1\le c+2\)
\(\Rightarrow2\left(c+2\right)\ge1-b-c+b+1\)
\(\Rightarrow2c+4\ge2-c\Leftrightarrow3c+4\ge2\Leftrightarrow3c\ge-2\Leftrightarrow c\ge-\frac{2}{3}\)
H
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Tìm GTNN của
\(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
2
4 tháng 8 2020
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Một cách tương ứng khi đó:
\(\Rightarrow P=a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}\)
\(=3+3-\frac{\frac{3^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
5 tháng 8 2020
sử dụng bđt Cosi ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a-1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
chứng minh tương tự ta cũng được \(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
từ (1)(2)(3) => \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
mặt khác a2+b2+c2>= ab+bc+ca hay 3(ab+bc+ca) =< (a+b+c)2=9
do đó \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
6 tháng 4 2018
Nếu mọi người nhận ra sẽ thấy cái điều kiện a+b+c=3 ko liên quan tới p thì sao mà giải đề này sai rồi
16 tháng 11 2019
Cần CM: \(\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}\ge\frac{-1}{9}a+\frac{4}{9}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-5a^2+7a-3\le0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left(a-1\right)^2\le0\) ( đúng do \(0< a< 3\) )
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{-1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{12}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(a+b+c)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9\)
Vậy $P_{\min}=9$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Hoặc cách khác:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{a}+9a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.9a}=6\)
\(\frac{1}{b}+9b\geq 6\)
\(\frac{1}{c}+9c\geq 6\)
Cộng theo vế: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9(a+b+c)\geq 18\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9\geq 18\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9\)
Vậy $P_{\min}=9$