Cho x, y là các số thực dương thoả mãn ĐK \(x+y\le6\)
Tìm GTNN của P=\(x+y+\frac{6}{x}+\frac{24}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 9 2018
Ta có:
\(P=\frac{18}{x^2+y^2}+\frac{9}{xy}+\frac{4}{xy}=\frac{18}{x^2+y^2}+\frac{18}{2xy}+\frac{4}{xy}\)
\(=18.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{4}{xy}\ge18.\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=18.4+4.4=72+16=88\)
Dấu bằng xảy ra: \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
19 tháng 8 2020
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
TT
0
LP
1
3 tháng 6 2018
\(M=\frac{2x^2+4xy+2y^2+8xy}{x+y}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\cdot4xy}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)^2+2\cdot1}{x+y}\)
\(=2\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}>=2\sqrt{2\left(x+y\right)\cdot\frac{2}{x+y}}=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy min M là 4 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
KN
22 tháng 2 2020
\(x+y=1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}.\frac{1}{xy}}=3.\frac{1}{xy}\ge3.4=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
