Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.CMR:
a) DE=AH.SinA
b) Cho AI là phân giác góc A, \(\widehat{A}=60^o\). CMR: \(\dfrac{\sqrt{3}}{AI}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 7 2021
a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AH^2=AE.AB\)
\(AH^2=AF.AC\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b)(\(\dfrac{BE}{CF}\) chứ)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB^2=BH.BC\)
\(AC^2=CH.BC\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c)Áp dụng định lý Thales có:
\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\Leftrightarrow BA.BH=BE.BC\)
\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow CF.BC=CA.CH\)
\(\Rightarrow BA.CA.BH.CH=BE.CF.BC^2\)
\(\Leftrightarrow AH.BC.AH^2=BC^2.BE.BF\)
\(\Leftrightarrow BC^..BE.BF=AH^3\)
Vậy ....
AT
3 tháng 7 2021
a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có \(HE\bot AB\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có \(HF\bot AC\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b) sửa đề: \(\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
Dễ dàng chứng minh được EHAF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Ta có: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\)
Vì \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle EBH=\angle FHC\)
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{CF}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{EH}{CF}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HE.AB}{AC.CF}\left(1\right)\)
Vì \(HE\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{HE}\Rightarrow BE=\dfrac{AB}{AC}.HE\left(2\right)\)
Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.AH.BC\left(AB.AC=AH.BC\right)\)
\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)
AT
6 tháng 7 2021
a) Ta có: \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật
\(\Delta AHB\) vuông tại H có HE là đường cao \(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
\(\Delta AHC\) vuông tại H có HF là đường cao \(\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b) \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB^2-AC^2=BH.BC-CH.BC=BC\left(BH-CH\right)\)
\(=\left(BH+CH\right)\left(BH-CH\right)=BH^2-CH^2\)
c) Ta có: \(\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AF.FC}-\dfrac{1}{CA.CF}=\dfrac{1}{CF}\left(\dfrac{1}{AF}-\dfrac{1}{CA}\right)\)
\(=\dfrac{1}{CF}.\dfrac{CF}{AF.AC}=\dfrac{1}{AH^2}\)
Lại có: \(\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE.EA}-\dfrac{1}{BE.BA}=\dfrac{1}{BE}\left(\dfrac{1}{EA}-\dfrac{1}{BA}\right)\)
\(=\dfrac{1}{BE}.\dfrac{BE}{EA.BA}=\dfrac{1}{AH^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}\Rightarrow\dfrac{1}{BH^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{HF^2}\)
d) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.\left(AB.AC\right)=BE.CF.AH.BC\)
\(\Rightarrow BC.BE.CF=AH^3\)
e) Ta có: \(AE.BE+AF.CF=EH^2+HF^2=EF^2=AH^2=BH.CH\)
f) Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=3AH^2+BH^2-EH^2+CH^2-HF^2\)
\(=3AH^2+BH^2+CH^2-\left(EH^2+HF^2\right)\)
\(=3AH^2+BH^2+CH^2-EF^2=3AH^2+BH^2+CH^2-AH^2\)
\(=BH^2+CH^2+2AH^2=BH^2+CH^2+2BH.CH\)
\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)
a, Gọi giao điểm của AB và EH là O
Xét tg AEO có \(\sin\widehat{A}=\dfrac{OE}{OA}\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OEA}=\widehat{HDO}=90^0\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta ODH\sim\Delta OEA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta OHA\sim\Delta ODE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{OE}{OA}=\sin\widehat{A}\\ \Rightarrow DE=AH\cdot\sin\widehat{A}\)
b, Áp dụng công thức diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}\) tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.
\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{AIC}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AI\cdot\sin\widehat{BAI}+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin\widehat{CAI}\)
Mà AI là p/g nên \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=30^0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin60^0=\dfrac{1}{2}AB\cdot AI\cdot\sin30^0+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin30^0\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AB\cdot AI+\dfrac{1}{4}AC\cdot AI\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AI\left(AB+AC\right)\\ \Rightarrow\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{1}{4}AI}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{AI}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)
sao anh đc Admin tick mà ko đc GP nhỉ