Question

[Lưu Tuệ Phương]

Đề bài:Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM=BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:

a, OC là tia phân giác của góc AOB.

b, OC vuông góc AB.

Answer 1

[Lưu Tuệ Phương]

 

Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN

Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:

OA=OB(cùng bằng bán kính)

OE=OD(chứng minh trên)

=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)

Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)

Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2

∠BOC = ∠O3 + ∠O4

Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC

Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB.

Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:

∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)

OA=OB

OF: chung

Suy ra ΔOBF = ΔOAF (c-g-c)

=> BF=AF( 2 cạnh tương ứng)

=> OC ⊥ AB

Answer 2

[Huy Hoang]

a. Kẻ \(OH\perp AM ; OK\perp AN\)

Ta có: AM = AN ( gt )

Suy ra: OH = OK ( hai dây bằng nhau cách đều tâm )

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có :

\(\widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^o\)

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OIH=\Delta OIK\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có :

\(\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90^o\)

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  \(\Delta OAH=\Delta OBH\)( cạnh huyền, cạnh góc vuông )

\(\widehat{O_3}=\widehat{O_4}\)

Suy ra : \(\widehat{O_1}+\widehat{O_3}=\widehat{O_2}+\widehat{O_4}\)hay \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)

b. Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân )

Suy ra: \(OC\perp AB\)