Question

[Minh Nguyễn Cao]

Cho các số thực không âm a,b thỏa mãn: \(\left(a-b\right)^2=a+b+2\)

CMR: \(\left(1+\frac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\frac{b^3}{\left(a+1\right)^3}\right)\le9\)

Answer 1

[tth_new]

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\).

Đặt \(a+b=2x;a-b=2y\) thì \(x,y\ge0\) và \(a=x+y;b=x-y\) (1)

 Theo đề bài: \(2x+2=4y^2\Rightarrow x=2y^2-1\ge0\)(*). Thay vào (1) thu được: \(a=2y^2+y-1;b=2y^2-y-1\) 

Vì \(b\ge0\Rightarrow2y^2-y-1\ge0\) (do trên) (**)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)

Vậy ta cần chứng minh:\(\left[1+\frac{\left(2y^2+y-1\right)^3}{\left(2y^2-y\right)^3}\right]\left[1+\frac{\left(2y^2-y-1\right)^3}{\left(2y^2+y\right)^3}\right]\le9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1-y\right)\left(y+1\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)}{y^6}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left[\frac{1}{4}\left(2y^2-1\right)\left(10y^2+9\right)+\frac{5}{4}\right]\le0\)

Cái ngoặc vuông > 0 (do (*) ). Nên ta chỉ cần chứng minh: \(1-y\le0\Leftrightarrow y\ge1\)(hiển nhiên đúng theo (**) )

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left\{\left(2;0\right),\left(0;2\right)\right\}\)

Answer 2

[tth_new]

Dành cho ai không muốn giả sử:

Nếu không muốn giả sử thì mọi người có thể xét hai trường hợp!

+) Nếu \(a\ge b\) thì giải như trên.

+) Nếu \(a\le b\). Đặt \(a+b=2x;b-a=2y\Rightarrow b=x+y;a=x-y\)

Cách giải tương tự.