dùng bđt cô si để tìm GTLN của biểu thức sau:
B= √(a-1)(b-4) / ab (a>1,b>4)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LB
2
13 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}=2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{c}.c}=2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
13 tháng 10 2021
Áp dụng BĐT cosi cho 3 số a,b,c dương:
\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\ \dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\ \dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\)
Cộng vế theo vế 3 BĐT trên
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky:
\(M^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (2^2+1)(x^2+5-x^2)=25\)
\(\Rightarrow M\leq 5\) hay \(M_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
Ta thấy \(5-x^2\geq 0\Rightarrow x^2\leq 5\rightarrow x\geq -\sqrt{5}\)
Do đó: \(M=2x+\sqrt{5-x^2}\geq =-2\sqrt{5}+0=-2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow M_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
F
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(a^4+b^4+b^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^{12}}=4ab^3\)
Tương tự:
\(b^4+3c^4\ge4bc^3\) ; \(c^4+3a^4\ge4ca^3\)
Cộng vế:
\(M\le a^4+b^4+c^4=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2022
Đặt \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1-a^2}=x\Rightarrow\sqrt{2}\le x\le2\)
\(x^2=2+2\sqrt{1-a^4}\Rightarrow\sqrt{1-a^4}=\dfrac{x^2-2}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{2}+\left(b+1\right)x+b-4\le0\)
\(\Rightarrow x^2+2\left(b+1\right)x+2b-10\le0\)
\(\Rightarrow x^2+2x-10\le-2b\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow-2b\ge\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)
\(\Rightarrow-2b\ge\max\limits_{\left[\sqrt{2};2\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)
Xét trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\) ta có:
\(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+6x-30}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{3x^2+8x-28-2\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(3x+14\right)\left(x-2\right)}{3\left(x+1\right)}-\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow-2b\ge-\dfrac{2}{3}\Rightarrow b\le\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(b_{max}=\dfrac{1}{3}\)
9 tháng 7 2016
a) Dễ thấy \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) là nửa các tam giác đều
Đặt BM = x ; CM = y \(\Rightarrow x+y=a\) (không đổi)
Ta có \(MH=sinB.BM=\frac{\sqrt{3}x}{2}\) ; \(MK=sinC.CM=\frac{\sqrt{3}y}{2}\)
\(\Rightarrow MH+MK=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{3}a}{2}\) không đổi.
b) Vì MH + MK không đổi khi M di chuyển trên BC (câu a) nên MH.MK đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow MH=MK\)
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có : \(MH.MK\le\frac{\left(MH+MK\right)^2}{4}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2}{4}=\frac{3a^2}{16}\)
Vậy Max MH.MK \(=\frac{3a^2}{16}\Leftrightarrow MH=MK\Leftrightarrow MB=MC\Leftrightarrow\)M là trung điểm của BC
