Question

[Nguyen Duy Dai]

Tim cac so nguyen x y thoa man\(x^3+3x=x^2y+2y+5\) 

Answer 1

[《 ღ Ňɠʉүêŋ ➻ Ňɠʉүêŋ ღ 》]

\(x^3+3x=x^2y+2y+5\)              \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+2y=x^3+3x-5\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)y=x^3+3x-5\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3+3x-5}{x^2+2}=\frac{x^3+2x+x-5}{x^2+2}\)

\(=\frac{x\left(x^2+2\right)+\left(x-5\right)}{x^2+2}=\frac{x\left(x^2+2\right)}{x^2+2}+\frac{x-5}{x^2+2}\)

\(=x+\frac{x-5}{x^2+2}\)

Mà \(x,y\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{x-5}{x^2+2}\in Z\)

\(\Rightarrow x-5⋮x^2+2\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right)\left(x+5\right)⋮x^2+2\)

\(\Rightarrow x^2-25⋮x^2+2\)

\(\Rightarrow x^2+2-27⋮x^2+2\)

\(\Rightarrow27⋮x^2+2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)\inƯ\left(27\right)\)

Mà \(Ư\left(27\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm9;\pm27\right\}\)

Nhưng \(x^2+2\ge2\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+2\in\left\{3;9;27\right\}\)

Lập bảng giá trị :

\(x^2+2\)	\(3\)	\(9\)	\(27\)
\(x^2\)	\(1\)	\(7\)	\(25\)
\(x\)	\(\pm1\)	\(\sqrt{7}\)	\(\pm5\)

Mà \(x\in Z\)

\(\Rightarrow x\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)        \(\left(2\right)\)

Thay \(\left(2\right)\)vào   \(\left(1\right)\)ta có :

+) Với \(x=-1\Rightarrow y=-3\)    ( thõa mãn )

+) Với \(x=1\Rightarrow y=-\frac{1}{3}\)   ( loại )

+) Với \(x=-5\Rightarrow y=-\frac{145}{27}\)   ( loại )

+) Với \(x=5\Rightarrow y=5\)  ( thõa mãn )

Vậy các số nguyên \(\left(x,y\right)\)cần tìm là : \(\left(-1;-3\right)\) ;       \(\left(5;5\right)\)