Cho hình vuông ABCD, M là điểm trong hình vuông thỏa mãn tam giác MAB cân tại M, góc ở đáy bằng \(^{15^o}\). Chứng minh tam giác MCD đều.
Bài này đã xuất hiện từ thập niên 60 của thế kỉ trước, bài toán ko hề dễ, bắt buộc phải kẻ thêm hình phụ.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 5 2022
*Dựng △ADE đều.
\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}=15^0\Rightarrow\)△DOC cân tại O.
\(\Rightarrow OD=OC;\widehat{DOC}=180^0-2\widehat{ODC}=180^0-2.15^0=150^0\)
\(\widehat{BAE}=\widehat{CDE}=90^0-\widehat{ADE}=90^0-60^0=30^0\)
\(AB=AE=DE=DC=AD\).
\(\Rightarrow\)△DCE cân tại D, △ABE cân tại A.
\(\Rightarrow\widehat{DCE}=\widehat{ABE}=\dfrac{180^0-\widehat{BAE}}{2}=\dfrac{180^0-30^0}{2}=75^0\).
\(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=90^0-\widehat{DCE}=90^0-75^0=15^0\)
\(\widehat{OCE}=90^0-\widehat{OCD}-\widehat{BCE}=90^0-15^0-15^0=60^0\)
△DOC và △BEC có: \(\widehat{ODC}=\widehat{EBC}=15^0;\widehat{OCD}=\widehat{ECB}=15^0;DC=BC\)
\(\Rightarrow\)△DOC=△BEC (g-c-g)
\(\Rightarrow OD=BE=OC=EC\)
\(\Rightarrow\)△OCE cân tại C mà \(\widehat{OCE}=60^0\)
\(\Rightarrow\)△OCE đều.
\(\widehat{OEB}=360^0-\widehat{OEC}-\widehat{BEC}=360^0-60^0-150^0=150^0\)
\(OE=CE=EB\Rightarrow\)△OEB cân tại E.
\(\Rightarrow\widehat{OBE}=\dfrac{180^0-\widehat{OEB}}{2}=\dfrac{180^0-150^0}{2}=15^0\)
\(\widehat{OBA}=90^0-\widehat{OBE}-\widehat{CBE}=90^0-15^0-15^0=60^0\)
Mà △OAB cân tại O \(\Rightarrow\)△OAB đều.
Vẽ ra phía ngoài hình vuông 1 tam giác đều ABE. Vì EA=EB; MA=MB nên EM là đường trung trực AB, suy ra ˆMEB=30∘
VÌ ΔEBM=ΔCBM(c.g.c), suy raˆMCB=ˆMEB=30∘⇒ˆMCD=60∘(1).
Mặt khác, ΔAMD=ΔBMC(c.g.c), suy ra: MD=MC (2)
Từ (1) & (2) =>ΔMCDđều (đpcm)
tam giác AMD= BMC (c-g-c)
trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa BC kẻ Ax và Dy sao cho Ax, Dy tạo vs AD các góc 15 độ, chứng cắt nhau tại J
Tam giác AJD có góc DAJ=JDA=15
=> t,g ADJ cân tại J
ta có t.g AJDJ= ABM (g-c-g)
=>AJ=AM
=> t.g AMJ cân tại A mà MAJ=60 (DAJ+JAM+MAB=90)
=> t.g ẠM đều
=>JA=JM
ta có MJS=AMJ+MAJ=60+60=120 (góc ngoài t.g)
tương tự ta có SJD=30
vậy MJD=SJM+SJD=120+30=150
lại có t.g JDM có JD=JM (cùng= JA)
=> JDM cân tại J mà góc MJD=120
=>JDM=15
ta có góc ADJ + JDM+MDC=90
15+15+mdc=90
MDC =60
tam giác MCD cân mà có góc D =60
=> MCD là tam giác đều