Question

[Nguyễn Mai]

Giải phương trình

\(\left(2x+1\right)\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac{16x+153}{16x-45}=0\)

Đặt \(t=\sqrt{x^2+1}+x\)

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=t^2-2tx+x^2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}\)

\(\Rightarrow\left(2\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)+1\right)t+\frac{16\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)+153}{16\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)-45}=0\)

\(\Leftrightarrow8t^4-37t^3-53t^2+190t=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-2\right)\left(8t+19\right)\left(t-5\right)=0\)

Làm nốt

Answer 2

[★彡 Ɗℑ︵Ⱥℭƙت ヅ︵ᶦᵈᵒᶫ]

SORRY BÀI NÀY KO VIẾT ĐC RÕ THÔNG CẢM VÌ MÁY KO VIẾT ĐC

Việc nhận thấy  3/4 và 12/5 là nghiệm của phương trình sẽ giúp ta tìm ra nhân tử (4x−3)(5x−12)(4x−3)(5x−12). 

Phương trình được viết lại

(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(√x2+1−x)=0.(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(x2+1−x)=0.

Nhận xét:  ``Tuyến tính hóa'' √x2+1−xx2+1−x bằng hai điểm 3434 và 125125, ta thu được phương trình √x2+1−x=−2x+711x2+1−x=−2x+711 nhận 3434 và 125125 làm hai nghiệm. Từ các này, ta có phân tích sau:

Phương trình trên tương đương

[(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(−2x+711)]+(16x+153)(√x2+1−x−−2x+711)=0.[(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(−2x+711)]+(16x+153)(x2+1−x−−2x+711)=0.

⇔8(4x−3)(5x−12)11+(16x+153)((4x−3)(5x−12))11(11√x2+1+9x+7)=0.⇔8(4x−3)(5x−12)11+(16x+153)((4x−3)(5x−12))11(11x2+1+9x+7)=0.

⇔(4x−3)(5x−12)(8+16x+15311√x2+1+9x+7)=0.⇔(4x−3)(5x−12)(8+16x+15311x2+1+9x+7)=0.

Nhận xét: 

8+16x+15311√x2+1+9x+7=88√x2+1+88x+20911√x2+1+9x+7>0∀x∈R.8+16x+15311x2+1+9x+7=88x2+1+88x+20911x2+1+9x+7>0∀x∈R.

Do đó phương trình ban đầu chỉ có hai nghiệm là 3434 và 125125.