Tìm GTNN của biểu thức sau:
1)A=\(\dfrac{b^2}{b-1}\), b>1
Tìm GTLN của biểu thức sau:
1)B=\(\dfrac{\sqrt{b-2}}{b},b>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
XO
11 tháng 2 2022
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Khi đó P = \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\left(4-\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\right)=-2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}-1\right)^2+2\le2\)
Dấu "=" khi a = b = 1
17 tháng 11 2021
\(S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(1+4^2\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\left(1\right)\)\(\left(bunhia\right)\)
\(tương-tự\Rightarrow\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\left(2\right)\)
\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}+b+\dfrac{4}{c}+c+\dfrac{4}{a}\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[16a+\dfrac{4}{a}+16b+\dfrac{4}{b}+16c+\dfrac{4}{c}-15\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[2\sqrt{16a.\dfrac{4}{a}}+2\sqrt{16b.\dfrac{4}{b}}+2\sqrt{16c.\dfrac{4}{c}}-15.\dfrac{3}{2}\right]\left(am-gm\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(16+16+16-\dfrac{45}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
\(\Rightarrow MinS=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
LM
11 tháng 7 2018
a) ĐKXĐ: \(x\ge-\sqrt{2}\)
Ta có: \(\sqrt{x+\sqrt{2}}\ge0\Rightarrow-\sqrt{x+\sqrt{2}}\le0\)
\(\Rightarrow A=1-\sqrt{x+\sqrt{2}}\le1\)
Vậy: GTLN của A là 1 khi \(\sqrt{x+\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\)
b) ĐKXĐ: \(x\ge-2\)
Ta có: \(\sqrt{x+2}\ge0\)
\(\Rightarrow B=\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5}\)
Vậy: GTNN của B là \(\dfrac{1}{5}\)khi \(\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow x=-2\)
LM
11 tháng 7 2018
Không có gì, nếu bài làm có vấn đề gì thì bạn góp ý cho mình nha!
27 tháng 5 2023
a: \(B=\dfrac{2x+3\sqrt{x}+9-x+3\sqrt{x}}{x-9}=\dfrac{x+9}{x-9}\)
b: \P=A:B
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{x-9}{x+9}=\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{x+9}>=\dfrac{-1\cdot3}{9}=\dfrac{-1}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=0
5 tháng 2 2022
\(=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\)
Tương tự
\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
TD
5 tháng 2 2022
Cái thứ nhất là tại sao có cái đầu tiên =)) cái thứ 2 dấu bằng xảy ra khi nào :V
28 tháng 5 2021
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có:\(Q=\dfrac{2-2a^2b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2\left(1-ab\right)\left(1+ab\right)}{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2\left(bc+ca\right)\left(1+ab\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{2c\left(1+ab\right)}{\sqrt{\left(ab+1\right)^2\left(c^2+1\right)}}+\dfrac{2}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2c}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{c^2+1}}=\dfrac{2\left(c+1\right)}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{2\left(c+1\right)}{\sqrt{\dfrac{\left(c+1\right)^2}{2}}}=2\sqrt{2}\)Dấu "=" xảy ra khi a = b = \(\sqrt{2}-1;c=1\).
Vậy..
TM
26 tháng 6 2023
Ta có : \(P=3A+2B\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+2\right)-1}{\sqrt{x}+2}=2-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)
Do \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\ge-1\)
\(\Rightarrow P=2-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\ge-1+2=1.\)
Vậy : \(MinP=1.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=0.\)
\(A=\dfrac{b^2}{b-1}=\dfrac{b^2-1+1}{b-1}=b+1+\dfrac{1}{b-1}=b-1+\dfrac{1}{b-1}+2\)
Áp dụng BĐT cosi cho \(b>0\left(b>1\right)\)
\(A=b-1+\dfrac{1}{b-1}+2\ge2\sqrt{\left(b-1\right)\cdot\dfrac{1}{b-1}}+2=2+2=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b-1=1\\b-1=-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=2\left(tm\right)\)