a) Cho a+b+c=0 và abc khác 0, Tính
P=\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)
b) Cho 2 số a và b thỏa mãn \(a\ge1;b\ge1\). Chứng minh \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
Cứu vs !!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2018
abc=a+b+c => 1 = 1/ab + 1/bc + 1/ac
2 = 1/a+1/b+1/c => 4 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/cb
=> 4 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(1/ab + 1/ac + 1/bc) = M + 2
=> M = 4 - 2 = 2
Mk làm bài đầu thôi,sáng nay mk làm cái tt cho
KT
7 tháng 4 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{c}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\frac{a+b+c}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\) (do a+b+c = abc)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
T
25 tháng 11 2019
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow xyz=1\)
Không khó để chứng minh \(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge x+y+z\)
\(VT=\Sigma\frac{y^2z}{x^2\left(1+2z\right)}=\Sigma\frac{\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\frac{1+2z}{z}}\ge\frac{\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+6}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx+6}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6}\)
Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\).Cần chứng minh:
\(f\left(t\right)=\frac{t^2}{\frac{t^2}{3}+6}\ge1\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(t-3\right)\left(t+3\right)\ge0\)(đúng)
IS that true?
T
25 tháng 11 2019
Làm xong em mới nhận ra không cần đổi biến:D
Ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=3a\)
Tương tự: \(\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3b;\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\ge3c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge a+b+c\)
Trở lại bài toán: \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(\frac{a^2}{b^2}\right)}{c+2}\ge\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2}{a+b+c+6}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}=\frac{t^2}{t+6}\)(với \(t=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\))
Cần chúng minh: \(\frac{t^2}{t+6}\ge1\Leftrightarrow t^2-t-6\ge0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)\ge0\)(đúng)
14 tháng 10 2018
\(a+b=c\Rightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tượng tự: \(b^2+c^2-a^2=2bc,c^2+a^2-b^2=2ac\)
Khi đó: \(B=\frac{-1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ac}=\frac{-c+a+b}{2abc}=0\)
Chúc bạn học tốt.
T
4 tháng 3 2019
Tham khảo: Câu hỏi của Nguyễn Thị Nhàn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt=)
4 tháng 3 2019
tth : mẫu nó khác bạn nhé
- mẫu nó là 2bc 2ac 2ab
mẫu mk ko có nhân 2
TA
9 tháng 7 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ab+ac}{abc}=2\)
\(\frac{bc+ab+ac}{a+b+c}=2\Leftrightarrow bc+ab+ac=2\left(a+b+c\right)\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}\)( * )
Để \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)thì \(2\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\right)=2\Leftrightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}=1\)
\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}=\frac{a^2bc+bac^2+ab^2c}{\left(abc\right)^2}=\frac{abc\left(a+b+c\right)}{\left(abc\right)^2}=\frac{a+b+c}{abc}\)
mà a + b + c = abc \(\Rightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}=\frac{abc}{abc}=1\Leftrightarrow\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}=2\)
thay \(\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}=2\) vào ( * ) ta được \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=4-2=2\left(đpcm\right)\)
HN
9 tháng 7 2019
\(\text{Ta có: }\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{bc.ac+ab.ac+ab.bc}{ab.bc.ac}\)
\(=\frac{abc.\left(a+b+c\right)}{a^2b^2c^2}=\frac{a+b+c}{abc}=1\left(\text{vì }a+b+c=abc\right)\)
\(\text{Lại có: }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=4-2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=2\text{ vì }\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\text{ từ}\left(1\right)\)
Vậy ...
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+2bc+c^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\c^2=a^2+2ab+b^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=-2bc\\a^2+c^2-b^2=-2ac\\a^2+b^2-c^2=-2ab\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
a) \(P=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{a^2+c^2-b^2}\) ( Sửa đề )
\(P=\frac{1}{\left(b+c\right)^2-2ab-a^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2-2ab-c^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2-2ac-b^2}\)
Vì a + b + c = 0
Nên a + b = -c
=> ( a + b )2 = (-c)2 = c2
Tương tự: ( b + c )2 = a2 và ( a + c )2 = b2
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2-2bc-a^2}+\frac{1}{c^2-2ab-c^2}+\frac{1}{b^2-2ac-b^2}\)
\(P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2ac}\)
\(P=\frac{a+b+c}{-2abc}=\frac{0}{-2abc}=0\)