Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 9. Tính giá trị biểu thức S = (2a + 2b -c )^2 + (2b + 2c -a)^2 + (2c + 2a -b)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2021
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 6 2019
Lời giải:
\((2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2\)
\(=(2a+2b)^2-2c(2a+2b)+c^2+(2b+2c)^2-2a(2b+2c)+a^2+(2c+2a)^2-2b(2c+2a)+b^2\)
\(=4(a+b)^2+4(b+c)^2+4(c+a)^2+(c^2+a^2+b^2)-4c(a+b)-4b(a+c)-4a(b+c)\)
\(=4(a^2+2ab+b^2)+4(b^2+2bc+c^2)+4(c^2+2ac+a^2)+(c^2+a^2+b^2)-8(ab+bc+ac)\)
\(=9(a^2+b^2+c^2)=9.9=81\)
22 tháng 7 2020
P = \(\frac{a^2c}{a^2c+c^2b+b^2a+}+\frac{b^2a}{b^2a+a^2c+c^2b}+\frac{c^2b}{c^2b+b^2a+a^2c}\)
P = \(\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{a^2c+c^2b+b^2a}=1\)
22 tháng 7 2020
\(P=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}}+\frac{\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}=1\)
12 tháng 8 2020
\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\Leftrightarrow b-2\sqrt{bc}+c\ge0\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\) dấu "="xảy ra khi b=c
\(\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)=a^2+2a\left(b+c\right)+4bc\ge a^2+4a\sqrt{bc}+4bc=\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}\)
tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(b+2c\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{bc}\\\sqrt{\left(c+2a\right)\left(a+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}\end{cases}}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}\)\(\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
hay \(A\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)
dấu "="xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(M=\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}-4\sqrt{c}\right)^2=\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{a}-4\sqrt{a}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
GH
19 tháng 6 2023
a) Có:
\(a+b+c=0\\\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\\ \Leftrightarrow2ab+2bc+2ca=-1\\ \Leftrightarrow ab+bc+ca=-\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4} \)
