Question

[Sarah Trần]

tìm số tự nhien n sao cho căn cậc 2 của 4n+1 là số tự nhiên?

2/ Cho A= căn bậc hai ( lớn) của 2 +căn bậc hai ( nhỏ) cùa 2+ căn bậc 2 của 2_..... gồm 2015 dấu can9 bậc 2, CMR A không là số tự nhiên

Answer 1

[Y]

1. Đặt \(\sqrt{4n+1}=a\) \(\left(a\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow4n+1=a^2\) (1)

=> \(a^2\) là số lẻ => a là số lẻ

=> \(a=2k+1\) \(\left(k\in N\right)\)

+ Thay a = 2k + 1 \(\left(k\in N\right)\) và (1) ta có :

\(4n+1=\left(2k+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4n=4k^2+4k\Leftrightarrow n=k\left(k+1\right)\)

Vậy với \(n=k\left(k+1\right)\) \(\left(k\in N\right)\) thì \(\sqrt{4n+1}\) là số tự nhiên

2. \(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) ( 2015 dấu căn )

+ Dễ thấy : \(A>1\) (1)

+ Ta có : \(\sqrt{2}< \sqrt{4}=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{2}}< \sqrt{2+2}=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< \sqrt{2+2}=2\)

Tương tự như vậy ta có :

\(A< \sqrt{2+2}=2\) (2)

+ Từ (1) và (2) => đpcm