cho số nguyên tố p < 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số \(p^n\)có đúng 20 chữ số. CMR trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 3 2018
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử không tồn tại 3 chữ số nào trong $p^n$ giống nhau.
Đặt \(p^n=\overline{a_1a_2...a_{20}}\)
Vì \(0\leq a_1,a_2,...,a_{20}\leq 9\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ \frac{20}{10}\right]=2\) số giống nhau.
Kết hợp với điều đã giả sử suy ra $p^n$ là một số gồm $20$ chữ số, trong đó luôn có đôi một hai số bằng nhau và bằng các số trải từ $0$ đến $9$
Khi đó: \(S(p^n)=2(0+1+2+..+9)=90\vdots 3\) trong đó \(S(p^n)\) là tổng các chữ số của $p^n$
Vì \(S(p^n)\vdots 3\Rightarrow p^n\vdots 3\). Điều này hoàn toàn vô lý do \(p>3, p\in\mathbb{P}\)
Do đó giả sử sai. Tức là tồn tại ít nhất 3 số trong 20 chữ số của $p^n$ giống nhau.
Sửa: p > 3
G/s không có ba chữ số nào giống nhau trong 20 số đó.
Vì các số chỉ có thể từ 0 -> 9 nên mỗi chữ số xuất hiện 2 lần
Khi đó tổng các chữ số là: 2(0 + 1 + ... + 9) = 2.45 = 90 chia hết cho 3
===> p chia hết cho 3 (vô lí)
Vậy ta có đpcm