Question

[ngo hoang khang]

Cho tam giác ABC nhọn có góc BAC> góc ACB. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,N,E. Gọi K là giao điểm của BO và NE. Chứng minh

a) \(\widehat{AOB}=90^{\sigma}+\frac{\widehat{ACB}}{2}\)

b) 5 điểm A, M, K, O, E cùng thuộc một đường tròn

c Gọi T là giao điểm BO với AC. Chứng minh: KT.BN = KB.ET

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Có ^AOB = 180⁰ - ^OAB - ^OBA = 180⁰ - ^BAC/2 - ^ABC/2 = 90⁰ + (180⁰ - ^BAC - ^ABC)/2 = 90⁰ + ^ACB/2

b) Dễ thấy A,M,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA (Vì ^AMO = ^AEO = 90⁰) (1)

Ta có ^AOK = 180⁰ - ^AOB = 180⁰ - (90⁰ + ^ABC/2) = 90⁰ - ^ACB/2 = ^CEN (Do \(\Delta\)CEN cân tại C)

=> Tứ giác AOKE nội tiếp hay A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A,M,K,O,E cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Ta thấy A,O,K,E cùng thuộc một đường tròn (cmt) và OK cắt AE tại T

Nên \(\frac{KT}{ET}=\frac{AT}{OT}\)(Hệ thức lượng đường tròn). Kết hợp \(\frac{AT}{OT}=\frac{AB}{OB}\)(AO là phân giác ^BAT)

Suy ra \(\frac{KT}{ET}=\frac{AB}{OB}\). Mặt khác: ^BKN = ^OAE = ^BAO và ^NBK = ^OBA => \(\Delta\)BKN ~ \(\Delta\)BAO (g.g)

=> \(\frac{AB}{OB}=\frac{KB}{NB}\). Từ đây \(\frac{KT}{ET}=\frac{KB}{BN}\)=> KT.BN = KB.ET (đpcm).