Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
6 tháng 1 2018
Áp Dụng BĐT svacxơ, ta có
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\left(ĐPCM\right)\)
^_^
6 tháng 1 2018
Đặt a = \(x^2+2yz\); b = \(y^2+2xz\); c = \(z^2+2xy\)
\(\Rightarrow\)\(a,b,c>0\)và \(a+b+c=\left(x=y+z\right)^2=1\)
+) C/m : \(\left(a=b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
Hay \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
\(\Rightarrow\)ĐPCM
hên xui thôi -_-
CJ
2
KR
1 tháng 5 2018
Cauchy - Schwarz dạng Engel :
\(\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2zx}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1/3
NA
2
11 tháng 1 2019
Áp dụng bđt Svac ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 8 2020
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
LH
1
16 tháng 4 2019
Bạn tự c/m BĐT : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xảy ra ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2yz+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\)\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)
Bạn tự giải dấu bằng nhé.
11 tháng 5 2019
áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\)≥\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\) =\(\frac{3^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)=\(\frac{9}{1^2}\) =9
(đpcm) vậy dấu =xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
BH
15 tháng 4 2018
áp dụng bổ đề \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(bạn dùng cô-si,xét tích \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\))
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1^2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\right)[(x^2+2yz)+(y^2+2xz)+(z^2+2xy)]\geq (1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\geq \frac{9}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)