Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có: $HM⊥AB;HN⊥AC$
$⇒\widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^o$
$⇒\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=180^o$
$⇒$ Tứ giác $AMHN$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)
b, Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$
Đường cao $HM$ (do $HM⊥AB$)
Nên $AH^2=AM.AB(1)$
Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$
Đường cao $HN$ (do $HN⊥AB$)
Nên $AH^2=AN.AC(2)$
Từ $(1)(2)⇒AM.AB=AN.AC$
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
Xét tam giác $AMN$ và tam giác $ACB$ có:
$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
$\widehat{A}$ chung
$⇒$ tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB(c.g.c)$
(đpcm)
c, tam giác $AMN$ $\backsim$ tam giác $ACB$
$⇒\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
Xét $(O)$ có: $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)
Nên $\widehat{ANM}=\widehat{AEC}$
Hay $\widehat{ANI}=\widehat{IEC}$
$⇒$ Tứ giác $CEIN$ nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)
c, Ta có: $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$
Mà $\widehat{ABC}+\widehat{AKC}=180^o$
do tứ giác $ABCK$ nội tiếp $(O)$
Nên $\widehat{ANM}+\widehat{AKC}=180^o$
Mà $\widehat{ANM}+\widehat{ANK}=180^o$
Nên $\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$
Xét tam giác $AKC$ và tam giác $ANK$ có:
$\widehat{AKC}=\widehat{ANK}$
$\widehat{A}$ chung
nên tam giác $AKC$ $\backsim$ tam giác $ANK(g.g)$
$⇒\dfrac{AK}{AN}=\dfrac{AC}{AK}$
$⇒AK^2=AN.AC$
mà $AH^2=AN.AC(cmt)$
$⇒AK^2=AH^2$
hay $AK=AH$
suy ra tam giác $AHK$ cân tại $A$
Lời giải:
a)
\(HM\perp AB; HN\perp AC\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{HNA}=90^0\)
Xét tứ giác $AMHN$ có tổng 2 góc đối \(\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90^0+90^0=180^0\) nên $AMHN$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b)
Vì $AMHN$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHN}\)
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACB}(=90^0-\widehat{NHC})\)
\(\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Xét tam giác $AMN$ và $ACB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{A}-\text{chung}\\ \widehat{AMN}=\widehat{ACB}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ACB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AC.AN\) (đpcm)
c)
Ta có: \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\) (góc nội tiếp chắn cung $AB$)
\(\widehat{ACB}=\widehat{AMN}\) (cmt)
\(\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AMN}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}=180^0-\widehat{BMI}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{IEB}+\widehat{BMI}=180^0\), do đó tứ giác $BMIE$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{MIE}=180^0-\widehat{MBE}=180^0-90^0=90^0\) (\(\widehat{MBE}=\widehat{ABE}=90^0\) vì là góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow MN\perp AE\) . Ta có đpcm.
Hình vẽ: