Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+y\le1\)
CMR \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\ge11\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 8 2019
Thiếu chứng minh điều kiện bằng j bạn ơi
R
21 tháng 8 2019
Trả lời
Từ giả thiết x+y+z=xyz <=> 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1
Khi đó: x/1+x2 = \(\frac{1}{\frac{x}{\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}}\)\(=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có:\(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra VT=\(\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
ĐPCM
21 tháng 8 2019
Ta có:\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{xyz}{yz+x^2yz}=\frac{xyz}{yz+x\left(xyz\right)}=\frac{xyz}{yz+x\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{yz+x^2+xy+xz}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)}\)
\(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\)
Chứng minh tương tự : \(\frac{2y}{1+y^2}=\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
\(\frac{3z}{1+z^2}=\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\)
Khi đó VT \(=\frac{xyz}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{2xyz}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{3xyz}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
\(=\frac{xyz\left[y+z+2\left(z+x\right)+3\left(x+y\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(đpcm\right)\)
( mình đang vội nên làm hơi tắt mong bạn thông cảm )
1 tháng 6 2018
Ta có : \(\frac{x^3}{z+x^2}=\frac{x^3+xz-xz}{z+x^2}=x-\frac{xz}{z+x^2}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\ge x-\frac{z+1}{4}\) (Cosi)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{x+y^2}\ge y-\frac{x+1}{4}\\\frac{z^3}{y+z^2}\ge z-\frac{y+1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z+x^2}+\frac{y^3}{x+y^2}+\frac{z^3}{y+z^2}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\)
Mà \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{z+x^2}+\frac{y^3}{x+y^2}+\frac{z^3}{y+z^2}\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
TN
1 tháng 6 2018
bước cuối sai \(\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) trong khi \(3\le x+y+z\) ?? :D
LT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
\(P=\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x\left(2y-x\right)-x\left(2y-x\right)+x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{2}{x}-2xy+2x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x^2+\left(x-y\right)^2\ge3+\left(x-y\right)^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2019
Lời giải:
Với $x,y$ là các số thực dương, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq \frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy(1)\)
$2y>x$ nên $2y-x>0$. Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy=\frac{1}{x^3(2y-x)}+x(2y-x)+x^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(2y-x)}.x(2y-x).x^2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq 3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
PN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{2}{\left(2x^2+1\right)\left(2y^2+1\right)}+\frac{2}{9xy}+\frac{7}{9xy}\)
\(P\ge\frac{8}{4x^2y^2+2x^2+2y^2+4xy+5xy+1}+\frac{7}{9xy}\)
\(P\ge\frac{8}{4\left(\frac{x+y}{2}\right)^4+2\left(x+y\right)^2+\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2+1}+\frac{28}{9\left(x+y\right)^2}=\frac{11}{9}\)
\(VT=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\left(\frac{1}{4xy}+4xy\right)+\frac{5}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)