*Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 , tìm GTNN của: \(S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
3
31 tháng 5 2018
Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)
Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).
NA
31 tháng 5 2018
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)
NA
4
18 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy có:
S= \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{4}{y}\)+\(\frac{9}{z}\)= \(\frac{1^2}{x}\)+ \(\frac{2^2}{y}\)+\(\frac{3^2}{z}\)>= \(\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\)= \(\frac{6^2}{1}\)=36
Vậy Min S=36
23 tháng 9 2017
ta có:
\(S\ge\frac{x^3}{x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{y^3}{y^2+z^2+\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{z^3}{z^2+x^2+\frac{z^2+x^2}{2}}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{2x^3}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{2y^3}{3\left(y^2+z^2\right)}+\frac{2z^3}{3\left(z^2+x^2\right)}\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow P=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}+y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}+z-\frac{zx^2}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{xy^2}{2xy}+\frac{yz^2}{2yz}+\frac{zx^2}{2xz}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge\frac{9}{2}\Rightarrow S\ge3\)
Vậy Min S=3 khi x=y=z=3
LH
23 tháng 9 2017
hok lp 6 000000000000 biet toan lp 9 dau ma lm , tk di , giai cho
3 tháng 11 2018
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\) Do \(xyz=1\Rightarrow abc=1\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự cộng lại ra ĐPCM
TN
13 tháng 6 2017
Câu hỏi của s2 Lắc Lư s2 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
15 tháng 8 2020
:))
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Leftrightarrow xy+yz+xz=3xyz\)
\(\Rightarrow3xyz=xy+yz+xy\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow x^3y^3z^3\ge x^2y^2z^2\Leftrightarrow\left(x^2y^2z^2\right)\left(xyz-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge1\left(x^2y^2z^2>0\right)\)
\(\Rightarrow P=x+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}\)
\(=\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^3}{6}\)
\(\ge11\sqrt[11]{\frac{x^6y^6z^6}{6^{11}}}\ge\frac{11}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
1/x + 36x ≥ 2.√(1/x . 36x) = 12 (đẳng thức xảy ra khi 1/x = 36x hay x = 1/6) (1)
4/y + 36y ≥ 24 (đẳng thức xảy ra khi 4/y = 36y hay y = 1/3) (2)
9/z + 36z ≥ 36 (đẳng thức xảy ra khi 9/z = 36z hay z = 1/2) (3)
Cộng vế 3 bất đẳng thức (1),(2),(3) lại được:
1/x + 4/y + 9/z + 36(x + y + z) ≥ 12+24+36=72
<=> 1/x + 4/y + 9/z ≥ 72 - 36(x + y + z) = 36 (vì x + y + z = 1)
Vậy GTNN S = 36 khi x = 1/6; y = 1/3; z = 1/2
Đúng thì tick nhé !
mk ko bt