Cho đa thứ f(x)= ax^2+bx+c với a,b,c là các hệ số nguyên. Chứng minh: f(x)-f(-x) chia hết 2 với mọi số nguyên x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 2 2020
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.\left(-x\right)^2-bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.x^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=ax^2+bx+c+ax^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.ax^2+2c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.\left(ax^2+c\right)\) chia hết cho 2
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)\) chia hết cho 2 với mọi số nguyên x
2 tháng 4 2016
xét x=o nên f(x) = c nên c chia hết cho 3
xét x=1 suy ra f(x) = a+b+c vì c chia hết cho 3 nên a+b chi hết cho 3 (1)
xét x =-1 suy ra f(x)=a-b+c chia hết cho 3 tương tự suy ra a-b chia hết cho 3 (2)
từ 1 và 2 suy ra a+b+a-b chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 mà (2,3)=1 nên a chia hết cho 3 nên b chia hết 3
16 tháng 4 2017
Ta có : \(f\left(x\right)⋮3\) với \(\forall x\in Z\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=0+0+c=c⋮3\)
\(Do\) \(f\left(x\right)⋮3\) với \(\forall x\in Z\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c⋮3\left(1\right)\)
\(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=a-b+c⋮3\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)-\left(a-b+c\right)=a+b+c-a+b-c=2b⋮3\)
Do 2 ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) Để \(2b⋮3\) thì \(b⋮3\)
Ta lại có : \(a+b+c⋮3\)
mà \(b⋮3\) ; \(c⋮3\)
\(\Rightarrow\) Để tổng trên chia hết cho 3 thì a \(⋮3\)
Vậy a,b,c \(⋮3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 2 2017
Lời giải:
Vì $f(x)$ chia hết cho $3$ với mọi \(x\in\mathbb{Z}\) nên ta có:
\(\left\{\begin{matrix} f(0)=c\vdots 3\\ f(1)=a+b+c\vdots 3 3\\ f(-1)=a-b+c\vdots 3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c\vdots 3\\ a+b\vdots 3(1)\\ a-b\vdots 3 (2) \end{matrix}\right.\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow 2a\vdots 3\). Mà $2$ không chia hết cho $3$ nên $a$ chia hết cho $3$
Có $a+b$ chia hết cho $3$ và $a$ chia hết cho $3$ nên $b$ cũng chia hết cho $3$
Do đó ta có đpcm
31 tháng 3 2016
Ta có:
\(f\left(1\right)=a+b+c\text{⋮7 }\)
\(f\left(2\right)=4a+2b+c⋮7\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)-f\left(1\right)=3a+b⋮7\)
\(f\left(3\right)=9a+3b+c=3\left(3a+b\right)+c⋮7\)
Mà \(3a+b⋮7\)
\(\Rightarrow c⋮7\)
Mà \(a+b+c⋮7\)
\(\Rightarrow a+b⋮7\)
Mà \(4a+2b+c⋮7\)
\(\Rightarrow4a+2b=2\left(2a+b\right)⋮7\)
\(2\text{̸ ⋮̸7}\)
\(\Rightarrow2a+b⋮7\)
Mà \(a+b⋮7\)
\(\Rightarrow\left(2a+b\right)-\left(a+b\right)=a⋮7\)
Có \(a⋮7;c⋮7;a+b+c⋮7\)
\(\Rightarrow b⋮7\)
\(f\left(m\right)=am^2+bm+c\)
Như vậy \(\Rightarrow am^2⋮7;bm⋮7;c⋮7\)
\(\Rightarrow a.x^2+bx+c⋮7\)
Do đó với bất kỳ giá trị nào của m nguyên thì f(m)⋮7
17 tháng 2 2020
a) Ta có:\(x.f\left(x+1\right)=\left(x+2\right).f\left(x\right)\)
+)Thay \(x=0\) ta có:\(2.f\left(0\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(0\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=0 (1)
+)Thay \(x=-2\) ta có:\(-2.f\left(-1\right)=0\)\(\implies\) \(f\left(-1\right)=0\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có nghiệm là x=-1 (2)
Từ (1),(2)
\(\implies\) đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất hai nghiệm
17 tháng 2 2020
b)Ta có:\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
+)Với x=0 \(\implies\) \(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c:2007\left(1\right)\)
+)Với x=1 \(\implies\) \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c:2007\left(2\right)\)
+)Với x=-1 \(\implies\) \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2-b.1+c=a-b+c:2007\left(3\right)\)
Từ (2);(3) cộng vế với vế ta được:
\(\implies\) \(f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c\)
\(=2a+2c\)
\(=2.\left(a+c\right):2007\)
mà \(\left(2,2007\right)=1\)\(\implies\) \(a+c:2007\) \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(4\right)\) \(\implies\) \(a:2007\) \(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right),\left(2\right)\) \(\implies\) \(b:2007\) \(\left(6\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(5\right),\left(6\right)\) \(\implies\) các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2007\(\left(đpcm\right)\)
28 tháng 4 2015
f(x) chia hết cho 3 với mọi x
=> f(0) chia hết cho 3 => C chia hết cho 3
f(1) ; f(-1) chia hết cho 3
=> f(1) = A+B +C chia hết cho 3 và f(-1) = A - B + C chia hết cho 3
=> f(1) + f(-1) chia hết cho 3 và f(1) - f(-1) chia hết cho 3
f(1) + f(-1) chia hết cho 3 => 2A + 2C chia hết cho 3 => A + C chia hết cho 3 mà C chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
f(1) - f(-1) chia hết cho 3 => 2B chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Vậy.......................
TM
28 tháng 4 2015
f(x) chia hết cho 3 với mọi x
=> f(0) chia hết cho 3 => C chia hết cho 3
f(1) ; f(-1) chia hết cho 3
=> f(1) = A+B +C chia hết cho 3 và f(-1) = A - B + C chia hết cho 3
=> f(1) + f(-1) chia hết cho 3 và f(1) - f(-1) chia hết cho 3
f(1) + f(-1) chia hết cho 3 => 2A + 2C chia hết cho 3 => A + C chia hết cho 3 mà C chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
f(1) - f(-1) chia hết cho 3 => 2B chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Vậy.......................
