Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông với AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh AE vuông góc với BI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 7 2018
Gọi giao điểm của 2 tia EC và BI là F, nối FA.
Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)FCI có: AI=CI; ^BAI = ^FCI; ^AIB = ^CIF => \(\Delta\)BAI=\(\Delta\)FCI (g.c.g)
=> AB=CF (2 cạnh tương ứng).
Ta có: AB vuông AC; CE vuông AC => AB // CE hay AB // CF
Xét tứ giác ABCF: AB // CF; AB=CF => Tứ giác ABCF là hình bình hành
=> AF // BC. Mà EI vuông BC nên EI vuông AF.
Xét \(\Delta\)AEF: AC vuông EF; EI vuông AF; điểm I thuộc AC => I là trực tâm \(\Delta\)AEF
=> FI vuông AE. Lại có: Tứ giác ABCF là hình bình hành; I là trung điểm đường chéo AC
=> 3 điểm F;I;B thẳng hàng. Vậy khi FI vuông AE thì BI cũng vuông AE (đpcm).
KN
27 tháng 2 2020
Gọi D là giao điểm của AB và IE
\(\Delta\)BDC có hai đường cao DI và CA cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta\)BDC
=> BI vuông góc CD (1)
Xét \(\Delta\)IAD và \(\Delta\)ICE có:
^IAD = ^ICE ( = 900)
IA = IC
^AID = ^CIE (đối đỉnh)
Do đó \(\Delta\)IAD = \(\Delta\)ICE (g.c.g)
=> ID = IE (hai cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)AIE và \(\Delta\)CID có:
AI = CI (gt)
^AIE = ^CID (đối đỉnh)
DI = EI (cmt)
Do đó \(\Delta\)AIE = \(\Delta\)CID (c.g.c)
=> ^IAE = ^ICD (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí slt nên AE //CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BI vuông góc AE (đpcm)
