K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 3 2019

câu 1.Ta có:

\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+3y}.\frac{x+3y}{16}}=\frac{x}{2}\)

\(\frac{y^2}{y+3x}+\frac{y+3x}{16}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{y+3x}.\frac{y+3x}{16}}=\frac{y}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{x+y+3x+3y}{16}\ge\frac{x+y}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

Câu 2:

điều kiện \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)(đúng ko)

Ta có:

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+1}.\frac{c^2+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{d^2+1}+\frac{d^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{d^2+1}.\frac{d^2+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\)

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-\frac{8}{4}=2\left(đpcm\right)\)

4 tháng 3 2019

Bạn ơi 2 dòng cuối ở câu 2 mình chưa hiểu lắm, làm sao để mất \(a^2+b^2+c^2+d^2\)được vậy?

BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ

Cô cong cách nào không ạ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:

Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế:

$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

27 tháng 5 2017

Nhân cả 2 vế với a+b+c 

Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0

dễ rồi nhé

27 tháng 5 2017

b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được: 

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)

=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3

1 tháng 8 2020

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

7 tháng 9 2019

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

7 tháng 9 2019

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

15 tháng 8 2017

Làm trước câu 3:

Ta có:

\(\frac{1x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\)

\(\Leftrightarrow1bcx+acy=abx+aby\)

\(\Leftrightarrow1x\left(bc-ab\right)=y\left(ab-ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1x}{y}=\frac{a\left(b-c\right)}{b\left(C-a\right)}\)

Ta cần chứng minh

\(1xa^2+yb^2=\left(x+y\right)c^2\)

\(\Leftrightarrow1x\left(a^2-c^2\right)=y\left(c^2-b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1x}{y}=\frac{\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}=\frac{a\left(b-c\right)}{b\left(c-a\right)}\)

Vậy ta có ĐPCM

27 tháng 8 2017

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

                  con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

 30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

 15 - 10 = 5 ( năm )

       ĐS : 5 năm

mình nha

15 tháng 11 2020

4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0

2 tháng 9 2018

Câu 1: Đặt   \(S=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(y+1\right)}}\)

\(\frac{S}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}\le\frac{3-3x+x+1}{2}=\frac{4-2x}{2}=2-x\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{\left(3-3x\right)\left(x+1\right)}}\ge\frac{x}{2-x}\)

Tương tự: \(\frac{y}{\sqrt{\left(3-3y\right)\left(y+1\right)}}\ge\frac{y}{2-y}\)

Từ đó: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}=\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\)

Áp dụng BĐT Schwarz: \(\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{x^2}{2x-x^2}+\frac{y^2}{2y-y^2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2\left(x+y\right)-\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2-\left(x^2+y^2\right)}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{S}{\sqrt{3}}\ge\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow S\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)(ĐPCM).

Dấu bằng có <=> \(x=y=\frac{1}{2}\).

2 tháng 9 2018

Câu 4: Sửa đề CMR: \(abcd\le\frac{1}{81}\)

 Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)+\left(1-\frac{1}{1+d}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)(AM-GM)

Tương tự: 

\(\frac{1}{1+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)\(;\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+d\right)}}\)

\(\frac{1}{1+d}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Nhân 4 BĐT trên theo vế thì có: 

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)\right]^3}}\)

\(=81.\frac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)

\(\Rightarrow81.abcd\le1\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)(ĐPCM)

Dấu "=" có <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{3}\).

NV
29 tháng 2 2020

1.

\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá

2.

\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)

\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

NV
29 tháng 2 2020

3.

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)

Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)

Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)

4.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)

\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)

\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)

Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)

\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)