Question

[Trương Nguyên Đại Thắng]

Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^4+ax^2+1\) và \(Q\left(x\right)=x^3+ax+1\) . Xác định a để đa thức P(x) và Q(x) có nghiệm chung

Answer 1

[Unruly Kid]

Ta có:\(\begin{Bmatrix} x^{4}+ax^{2}+1=0 & \\x^{3}+ax+1=0 & \end{Bmatrix}\)

Giả sử phương trình có nghiệm chung là \(x_o\)

\(\begin{Bmatrix} x_0^{4}+ax_0^{2}+1=0(1) & \\x_0^{3}+ax_0 +1=0(2) & \end{Bmatrix}\)

Suy ra

\(x_0^{4}-x_0^{3}+ax_0^{2}-ax_0=0\Leftrightarrow x_0(x_0-1)(x_0^{2}+a)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0=0 & & \\x_0=1 & & \\x_0^2+a=0 & & \end{bmatrix}\)Thử lại thấy a=-2 phương trình sẽ có 1 nghiệm chung x=1

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Giả sử nghiệm chung của hai đa thức là \(x_0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^4+ax_0^2+1=0\\x_0^3+ax_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_0^4+ax_0^2+1=x_0^3+ax_0+1\)

\(\Rightarrow x_0^4-x_0^3+ax^2_0-ax_0=0\Leftrightarrow x_0^3\left(x_0-1\right)+ax_0\left(x_0-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_0\left(x_0-1\right)\left(x_0^2+a\right)=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=1\\x^2_0=-a\end{matrix}\right.\)

- Thay \(x_0=0\) vào ta được \(P\left(0\right)=1\Rightarrow\) ko phải nghiệm (loại)

- Thay \(x_0=1\) vào \(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+2=0\Rightarrow a=-2\\Q\left(1\right)=a+2=0\Rightarrow a=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)

- Với \(x_0^2=-a\Rightarrow a=-x^2_0\) thay vào ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}P\left(x_0\right)=x_0^4+\left(-x_0^2\right)x_0^2+1=1\ne0\\Q\left(x_0\right)=x_0^3+\left(-x_0^2\right)x_0+1=1\ne0\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy với \(a=-2\) thì 2 đa thức có nghiệm chung \(x=1\)