Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 3 2017
Ta có:
\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)
\(\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2022
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
19 tháng 3 2017
\(M=\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{16x}+\dfrac{4}{16y}+\dfrac{16}{16z}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\dfrac{1}{16x}+\dfrac{4}{16y}+\dfrac{16}{16z}=\dfrac{1^2}{16x}+\dfrac{2^2}{16y}+\dfrac{4^2}{16z}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{16x+16y+16z}=\dfrac{7^2}{16\left(x+y+z\right)}=\dfrac{49}{16}\)
19 tháng 3 2017
@Ace Legona tớ chưa học BĐT Cauchy-Schwarz ! Có cách giải khác không?
1 tháng 4 2018
ta có
P = 1/16x + 1/4y + 1/z = (1/16x + 4/16y + 16/16z)
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
(1/16x + 4/16y + 16/16z)*(16x + 16y + 16z) >= (1 + 2 + 4)^2 = 49
=> P.16 >= 49 hay P >= 49/16
dấu = xảy ra khi
1/(16x)^2 = 1/64y^2 = 1/16z^2 và x + y + z = 1
<> 1/16x = 1/8y = 1/4z và x + y + z = 1
<> 4x = 2y = z và x + y + z = 1
<> x = 1/7 và y = 2/7 và z = 4/7
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 8 2021
Lời giải:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y-z}\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{x+y}{z(x+y-z)}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(\frac{1}{xy}-\frac{1}{z(x+y-z)})=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{z(x+y-z)-xy}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y).\frac{(z-x)(y-z)}{xyz(x+y-z)}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(z-x)(y-z)=0\)
Xét các TH sau:
TH1: $x+y=0$. TH này loại do ĐKXĐ $x,y>0$
TH2: $z-x=0\Leftrightarrow z=x$
$\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{2020}{2021}$
\(M=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{2}{\sqrt{y}}=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
TH3: $y-z=0$ tương tự TH2, ta có \(M=2\sqrt{\frac{2020}{2021}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2019
\(M=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}+\dfrac{16}{z^2}\right)\ge\dfrac{1}{16}.\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{49}{16}\)
\(\Rightarrow M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{7}\\y^2=\dfrac{2}{7}\\z^2=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)
M
4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
7 tháng 8 2021
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
\(M=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{16}{z}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{4^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{1}{16}\dfrac{\left(1+2+4\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{49}{1}=\dfrac{49}{16}\)
\(\Rightarrow M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{2}{7}\\z=\dfrac{4}{7}\end{matrix}\right.\)