Cho a,b,c đều lớn hơn \(\frac{25}{4}\). Tìm GTNN của:
\(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
24 tháng 1 2021
- Áp dụng bđt cộng mẫu
Cho \(x_1;x_2;x_3\in R \)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\left(1\right)\\\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{\left(y_1+y_2+y_3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)
và \(y_1;y_2;y_3\in R\)
CM : +) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y_1+y_2\right)\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\right)\ge\left(x_1+x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge2x_1x_2\)( đúng do Cauchy )
+) Để CM (2) , ta áp dụng liên tiếp 2 lần (1)
(1) (2)
\(VT\left(2\right)\ge\frac{\left(x_1+x_1\right)^2}{y_1+y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)
+) Với cách này ra có thể cm bđt " cộng mẫu " tổng quát sau :
\(\frac{x_1^2}{y_1}+......+\frac{x_1^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+........+x_n\right)^2}{y_1+...........+y_n}\)
- Áp dụng bđt cộng mẫu , ta có :
\(P=\frac{\sqrt{a}^2}{2\sqrt{b}-5}+\frac{\sqrt{b}^2}{2\sqrt{c}-5}+\frac{\sqrt{c}^2}{2\sqrt{a}-5}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15}\ge\frac{S^2}{2S-15}\)
( Trong đó \(S=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>3\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\))
- Đặt U = 2S - 15
+) u > 0
+) \(S=\frac{u+15}{2}\)
\(P\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(u+15\right)^2}{u}=\frac{1}{4}\left(u+\frac{15^2}{u}+30\right)\)
\(\ge\frac{1}{4}\left(2\sqrt{u.\frac{15^2}{u}}+30\right)\left(Cauchy\right)\)
\(\ge15\)
24 tháng 1 2021
Ta có: \(a,b,c>\frac{25}{4}\Rightarrow2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\) (1)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\) (2)
\(\frac{a}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\) (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: \(Q\ge5.3=15\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=25 ( TMĐK)
Vậy Min Q =15 <=> a=b=c=25
KN
14 tháng 2 2020
Do \(a,b,c>\frac{25}{4}\)(gt) nên suy ra \(2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{b}\right)-15\ge\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{a}\right)\)
Suy ra \(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}\ge15\)
hay \(Q\ge15\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=25\))
HN
12 tháng 4 2017
Câu 1/ phân tích nhân tử là xong nên không giải.
Câu 2/ Ta có:
\(Q=\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125.abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right).5.\left(2\sqrt{c}-5\right).5.\left(2\sqrt{a}-5\right).5}}\)
\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{\dfrac{\left(2\sqrt{a}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{b}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{c}-5+5\right)^2}{4}}}\) (Vì \(a,b,c>\dfrac{25}{4}\))
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{abc}}=15\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=25\)
PS: Bài nãy láu táu ghi nhầm dấu.
25 tháng 11 2019
ĐKXĐ:\(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a,b,c\ne\frac{25}{4}\end{cases}}\)
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\left(cosi\right)\)
Làm tương tự rồi cộng 3 vế lại nha bn
19 tháng 11 2019
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
\(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(\frac{2}{\sqrt{b}}-\frac{5}{b}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{c}}-\frac{5}{c}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)}}\)
xét \(\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)=-\left(\left(\sqrt{\frac{5}{a}}\right)^2-2.\sqrt{\frac{5}{a}}.\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{5}=-\left(\sqrt{\frac{5}{a}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{1}{5}\le\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow Q\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{1}{5}.\frac{1}{5}.\frac{1}{5}}}=3.5=15\)
\(Q_{Min}=15\Leftrightarrow a=b=c=25\)