Cho biết các số x,y,z thỏa mãn :
x2+2y+1=0
y2+2z+1=0
z2+2x+1=0
Tính giá trị biểu thức:
a) A = x2020 + y2020+z2020
b) B=\(\dfrac{1}{x^{2022}}+\dfrac{1}{y^{2022}}+\dfrac{1}{z^{2022}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KH
24 tháng 4 2021
Lời giải :
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{c^2}\right)=0\)
Do \(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{a^2}\ne0;\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{b^2}\ne0;\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{1}{c^2}\ne0\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)
Thay vào biểu thức P :
\(P=0^{2020}+\left(y-1\right)^{2022}+\left(z-1\right)^{203}=0+1-1=0\)
10 tháng 6 2023
Ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(1\right)\left(a,b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\le\dfrac{a+b}{ab}\\ \Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
\(DBXR\Leftrightarrow a=b\)
Do các phép biến đổi tương đương nên (1) luôn đúng
Áp dụng (1), ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
Cộng từng vế BĐT, ta được:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)Hay \(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\left(đpcm\right)\)
\(DBXR\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
6 tháng 3 2022
( x - 1 )2018 + (y - 2 )2020+(z-3)2022=0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=0\\z-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{1}{9}\left(-x\right)^{2021}y^2z^3=\dfrac{1}{3}\left(-1\right)^{2021}.2^2.3^3=\dfrac{1}{3}.\left(-1\right).4.27=-36\)
7 tháng 3 2022
2x−3y/5=5y−2z/3=3z−5x/2=10x-15y/25=15y-6z/9=6z-10x/4=...+..+..../25+9+4=0/31=0
=> 2x=3y; 5y=2z ; 3z=5x => x/3=y/2; y/2=z/5
=> x/3=y/2 =z/5 = 12x/36=5y/10=3z/15= (12x+5y-3z)/31
x/3 = 3y/6=2z/10 = (x-3y+2z)/7
=> (12x+5y-3z)/ (x-3y+2z)=31/7
7 tháng 3 2021
Áp dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{A+B}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}\right)\forall A,B>0\)
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\) Tương tự: \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=1\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
BC
7 tháng 3 2021
Này Nguyễn Trọng Chiến, mk ko hiểu cái chỗ \(\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\)??? Sao suy ra được vậy bn??
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{x+x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
BC
7 tháng 3 2021
Mk ko hiểu cái dòng đầu Nguyễn Việt Lâm Giáo viên, bn có thể nói chi tiết cách phân tích cho mk đc ko??
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y+1=0\\y^2+2z+1=0\\z^2+2x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z=-1\)(do \(\left(x+1\right)^2,\left(y+1\right)^2,\left(z+1\right)^2\ge0\forall x,y,z\))
a) \(A=x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}=\left(-1\right)^{2020}+\left(-1\right)^{2020}+\left(-1\right)^{2020}=1+1+1=3\)
b) \(B=\dfrac{1}{x^{2020}}+\dfrac{1}{y^{2020}}+\dfrac{1}{z^{2020}}=\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}+\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}+\dfrac{1}{\left(-1\right)^{2020}}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}=3\)