Cho ax + by + cz = 0. CMR:
ax^2 + by^2 + cz^2/ bc(y-z)^2 + ca(z-x)^2 + ab(x-y)^2 = 1/a+b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 7 2019
Lời giải:
Từ \(ax+by+cz=0\Rightarrow (ax+by+cz)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2(axby+axcz+bycz)\)
\(=-2(bcyz+cazx+abxy)\)
Khi đó:
\(bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2=bc(y^2-2yz+z^2)+ca(z^2-2zx+x^2)+ab(x^2-2xy+y^2)\)
\(=(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2)-(2bcyz+2cazx+2abxy)\)
\(=(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2)+(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)\)
\(=ax^2(a+b+c)+by^2(a+b+c)+cz^2(a+b+c)=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)\)
Do đó:
\(\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{(ax^2+by^2+c^2)(a+b+c)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2019}}=2019\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 7 2019
Rồng Con: bạn ghép nhóm thì nó ra thế á.
\(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=(bcy^2+aby^2+b^2y^2)+(bcz^2+caz^2+c^2z^2)+(cax^2+abx^2+a^2x^2)\)
\(=by^2(c+a+b)+cz^2(b+a+c)+ax^2(c+b+a)\)
\(=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)\)
Ý tưởng là bạn tìm những cái có cùng $ax^2,by^2,cz^2$ để nhóm với nhau, cuối cùng ra 1 biểu thức có chứa $ax^2+by^2+cz^2$ liên quan đến tử để triệt tiêu ^^
16 tháng 12 2020
\(A=\dfrac{bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2-2bcyz-2cazx-2abxy}{ax^2+by^2+cz^2}=\dfrac{\left(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2}{ax^2+by^2+cz^2}=\dfrac{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\left(a+b+c\right)}{ax^2+by^2+cz^2}=a+b+c\)
S
8 tháng 11 2018
Đặt \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+cz\left(z-x\right)}\)
Từ ax+by+cz=0
=>(ax+by+cz)2=0
=>a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2bycz+2czax=0
=>a2x2+b2y2+c2z2=-2(ax+by+byca+czax)
Xét mẫu thức: \(ab\left(x-y\right)^2+bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2\)
\(=ab\left(x^2-2xy+y^2\right)+bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ca\left(z^2-2zx+x^2\right)\)
\(=abx^2-2abxy+aby^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2+caz^2-2cazx+cax^2\)
\(=\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(aby^2+acz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)-2\left(abxy+bcyz+cazx\right)\)
\(=\left(aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2\right)+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)
\(=\left(a^2x^2+aby^2+acz^2\right)+\left(abx^2+b^2y^2+bcz^2\right)+\left(acx^2+bcy^2+c^2z^2\right)\)
\(=a\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+b\left(ax^2+by^2+cz^2\right)+c\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
Do đó: \(A=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2018}}=2018\) (dpcm)
ND
0
19 tháng 10 2016
Phân tích mẫu :
\(M=bc\left(y-z\right)^2+ca\left(z-x\right)^2+ab\left(x-y\right)^2\)
Khai triển các bình phương và gom các nhân tử chung :
\(M=\left(ab+ac\right)x^2+\left(ab+bc\right)y^2+\left(bc+ac\right)z^2-2abxy-2bcxy-2acxy\)
\(=\left[\left(ab+ac\right)x^2+a^2x^2+\left(ab+bc\right)y^2+b^2y^2+\left(bc+ac\right)z^2+c^2z^2\right]-\)\(\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2ab+2aczx+2bcyz\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\) ( vì \(ax+by+cz=0\) )
Kết quả : \(M=\frac{1}{a+b+c},a+b+c\ne0\)
lấy mẫu trừ đi (ax+by+cz)^2